平面向量與其他知識的綜合應用問題

周玉鳳

平面向量是既有大小又有方向的量，同時具有“數”與“形”的雙重特點，是數形結合自然一體的“橋梁”，可以有效“串聯”起平面向量與其他知識，實現不同數學知識點之間的交匯與融合.平面向量既可以將幾何問題代數化，借助坐標、符號、數量等將推理轉化為數學運算來處理，也可以將代數問題幾何化，借助幾何意義、圖形等將運算轉化為直觀模型來解決.

1 平面向量的實際應用問題

平面向量這一“數”“形”兼備工具在實際問題中的應用，可以使一些相關問題轉化為數學問題.合理應用平面向量，可使問題的解答更加簡捷，清晰.特別是借助平面向量來解決實際生活中一些與“力”有關的應用問題.

例1（多選題）在日常生活中，我們會看到兩人共提一個行李包的情境，如圖1所示，假設行李包所受重力為G，兩個拉力分別為F1，F2，若|F1|=|F2|，F1與F2的夾角為θ，則以下結論正確的是（）.

A.|F1|的最小值為12|G|

B.θ的取值范圍為＼

C.當θ=π2時，|F1|=22|G|

D.當θ=2π3時，|F1|=|G|

分析：根據題目條件，利用行李包為平衡狀態時的受力平衡構建力的關系式，通過平面向量數量積公式的應用與轉化，結合兩拉力的夾角θ的取值范圍或確定的取值，與各選項中的條件聯系加以分析與判斷.

解析：當行李包為平衡狀態時，|G|=|F1+F2|為定值，且|F1|=|F2|，所以有|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos θ=2|F1|2（1+cos θ），解得|F1|2=|G|22（1+cos θ）.

對于選項A，由θ∈＼F1|的最小值為12|G|，故選項A正確；

對于選項B，由題意可知，當θ=π時，|F1|2=|G|22（1+cos θ）沒有意義，故選項B不正確；

對于選項C，當θ=π2時，|F1|2=|G|22，所以|F1|=22|G|，故選項C正確；

對于選項D，當θ=2π3時，|F1|2=|G|2，所以|F1|=|G|，故選項D正確.

綜上分析，選擇：ACD.

2 平面向量與三角函數（或解三角形）的綜合問題

三角函數（或解三角形）和平面向量的綜合問題是近幾年高考數學的一個高頻考點與熱點.這類問題的求解，既要求我們具有嫻熟的三角恒等變換技能，又要求能熟練地進行平面向量的基本運算，特別是平面向量中的數乘運算和數量積運算.

例2〔2021年全國決勝高考數學仿真試卷（理科）（一）（全國Ⅱ卷）〕已知A，B，C三點共線，AB=3，AC=2CB，平面內一點P滿足PA·PC|PA|=PB·PC|PB|，則sin∠PAB的最大值是（）.

A.32

B.12

C.13

D.223

分析：根據題目條件，結合平面向量的線性關系式確定線段上三點的比例關系，利用平面向量的數量積公式與條件加以轉化，確定PC為∠APB的平分線，借助三角形的角平分線定理以及余弦定理的應用，最后利用同角三角函數的基本關系式來確定sin∠PAB的最大值.

解析：由AC=2CB，可知C為線段AB上靠近點B的三等分點，且|AC|=2|CB|.

由PA·PC|PA|=PB·PC|PB|，可以得到

cos∠APC=cos∠BPC，則∠APC=∠BPC，所以PC為∠APB的平分線.

根據三角形的角平分線定理，得|PA||PB|=|AC||CB|=21，設|PB|=m（m＞0），則|PA|=2m.

在△ABP中，由余弦定理，可得cos∠PAB=|PA|2+|AB|2－|PB|22|PA|·|AB|=4m2+9－m212m=m4+34m≥2m4×34m=32，當且僅當m=3時，等號成立.

結合同角三角函數基本關系式，有sin∠PAB=1－cos 2∠PAB≤1－322=12.

所以sin∠PAB的最大值是12.故選擇：B.

點評：平面向量的概念、運算、數量積等的幾何意義中涉及三角函數（或解三角形）相關知識，這也為三角函數（或解三角形）和平面向量的綜合問題做好了無縫鏈接，實現不同知識之間交互與整合.

3 平面向量與函數（或不等式、數列）的綜合問題

平面向量作為數學工具，在“數”的視角與函數（或不等式、數列）等知識層面之間有著千絲萬縷的聯系，以“數”為本，拓展類比，交匯融合起平面向量與函數（或不等式、數列）相關知識的聯系，創設更加豐富多彩的綜合應用場景.

例3〔2021年全國高考數學臨門一卷試卷（二）〕定義向量列a1，a2，a3，……，an從第二項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量（即坐標都是常數的向量），即an=an－1+d（n≥2，且n∈N*），其中d為常向量，則稱這個向量列{an}為等差向量列.這個常向量叫作等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n項和Sn=a1+a2+……+an.已知等差向量列{an}滿足a1=（1，1），a2+a4=（6，10），則向量列{an}的前n項和Sn=.

分析：根據題目條件，結合等差向量列的創新定義，易知等差數列的性質、通項公式與求和公式對等差向量列也適合，進而分別確定公差向量d與通項公式an，利用對應的求和公式即可求解.

解析：根據創新定義，類比等差數列的等差中項的性質，

可得2a3=a2+a4=（6，10），解得a3=（3，5）.

所以，等差向量列{an}的公差向量d=a3－a12=（3，5）－（1，1）2=（3－1，5－1）2=（2，4）2=（1，2）.

類比等差數列的通項公式，可得等差向量列{an}的通項公式為an=（1，1）+（n－1）（1，2）=（1，1）+（n－1，2n－2）=（1+n－1，1+2n－2）=（n，2n－1）.

再類比等差數列的前n項和公式求Sn.

所以得到等差向量列{an}的前n項和Sn=n（a1+an）2=n［（1，1）+（n，2n－1）］2=n（1+n，2n）2=（n+n2，2n2）2=n+n22，n2.故填：n+n22，n2.

4 平面向量與幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）的綜合應用

平面向量作為數學工具，在“形”的視角與幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）知識層面之間有著密切的聯系，以“形”為媒，以“形”創設，可以將向量知識滲透進平面幾何、解析幾何或立體幾何等相關知識中.

例4〔2021年浙江省Z20聯盟高考數學第三次聯考試卷（5月份）〕已知A，B，C，D是以O為球心，2為半徑的球面上的四個點，OA+OB+OC=0，則AD+BD+CD不可能等于（）.

A.6

B.7

C.8

D.62

分析：根據題目條件，確定O，A，B，C四點共面，進而結合點D的變化情況，從“點D和A，B，C中的一個重合”與“OD⊥平面ABC”兩個極端位置來確定AD+BD+CD的取值，進而求出其取值范圍，利用選項中的數值加以分析與判斷.

解析：連接AB，BC，AC.

因為A，B，C，D是以O為球心，2為半徑的球面上的四個點，OA+OB+OC=0，

所以O，A，B，C四點共面，且△ABC為等邊三角形，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.

當點D和A，B，C中的一個重合時，AD+BD+CD=2×22+22－2×2×2cos 120°=43（極限狀態，不能重合）.

連接OD，當OD⊥平面ABC時，易得AD+BD+CD=3×22=62.

所以43

點評：利用平面向量解決此類平面向量與幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）的綜合問題時，可以選擇建系，使問題坐標化，從“數”的視角將問題巧妙解決；也可直接利用平面向量自身“形”的性質來數形結合，合理解決.

平面向量是銜接代數與幾何的紐帶，溝通“數”與“形”，是數形結合的典范，也為平面向量與其他知識的交匯融合提供了更多的新穎情境與創新應用，實現抽象的問題與具體的問題之間的交互與轉化，方法巧妙，思維創新，在解決一些具體問題中有奇效，值得借鑒與推廣.在復習備考過程中，應當選擇一些典型的平面向量與實際應用問題、三角函數（或解三角形）問題、函數（或不等式、數列等）問題以及幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）問題的綜合應用進行求解訓練，提高學生處理這類綜合問題的能力.