“概率”章節易錯點歸納例析

于明華

“概率”章節涉及到的概念、公式較多，很多學生往往會因為對概念、公式理解不清，考慮問題不全面等造成這樣或那樣的解題錯誤，故很有必要歸類總結常見解題易錯點.

1 易錯點一：將“非等可能”與“等可能”混同

例1擲兩枚骰子，求事件A為“出現的點數之和等于3”的概率.

錯解：擲兩枚骰子出現的點數之和的可能數值為2，3，4，……，12，而滿足事件A的結果只有數值3，故P（A）=111.

剖析：上述錯解的根源在于沒有厘清公式P（A）=mn中的n，m的具體含義.

正解：擲兩枚骰子出現的等可能結果有（1，1），（1，2），……，（1，6），（2，1），（2，2），……，（2，6），……，（6，1），（6，2），……，（6，6），共36種.

在這些結果中，事件A包含兩種等可能結果：（1，2），（2，1）.

故所求概率為P（A）=236=118.

2 易錯點二：將目標事件包含的基本事件的個數算錯

例2 甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽取一題. 求甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率.

錯解：因為甲抽到選擇題的事件數是6×9，乙抽到選擇題的事件數6×9，所以甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的事件數為12×9.又甲、乙二人依次各抽取一題的事件數是10×9，故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是1210=65.

剖析：由于考慮不細致，實際上把甲、乙二人都抽到選擇題的事件數計算了兩次，這是上述錯解的根本原因.

正解：甲、乙二人依次各抽取一題的基本事件的總數是10×9=90.

甲、乙二人至少有一個抽到選擇題，包括以下三種情形：（1）只有甲抽到了選擇題，事件數是6×4=24；（2）只有乙抽到了選擇題，事件數是6×4=24；（3）甲、乙同時抽到選擇題，事件數是6×5=30.

故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是24+24+3090=1315.

3 易錯點三：沒有注意抽取時是否“放回”

例3一個袋子中有紅、白、藍三種顏色的球共24個，除顏色外完全相同，已知藍色球3個.若將這三種顏色的球分別進行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍色球和3號藍色球這四個球裝入另一個袋子中，甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球（甲先取，取出的球放回），求甲取出的球的編號比乙的大的概率.

錯解：記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有（紅1，白1），（紅1，藍2），（紅1，藍3），（白1，紅1），（白1，藍2），（白1，藍3），（藍2，紅1），（藍2，白1），（藍2，藍3），（藍3，紅1），（藍3，白1），（藍3，藍2），共12個.

事件A包含的基本事件有（藍2，紅1），（藍2，白1），（藍3，紅1），（藍3，白1），（藍3，藍2），共5個.

故P（A）=512.

剖析：由于題目要求“甲先取，取出的球放回”，而上述解題過程卻是按“不放回”的方式思考的，這是導致上述錯誤的根源所在.

注意：如果把“甲先取，取出的球放回”這句話修改為“甲先取，取出的球不放回”，那么上述錯解就是正確的.

正解：記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有（紅1，白1），（紅1，藍2），（紅1，藍3），（白1，紅1），（白1，藍2），（白1，藍3），（藍2，紅1），（藍2，白1），（藍2，藍3），（藍3，紅1），（藍3，白1），（藍3，藍2），（紅1，紅1），（白1，白1），（藍2，藍2），（藍3，藍3），共16個.

事件A包含的基本事件有（藍2，紅1），（藍2，白1），（藍3，紅1），（藍3，白1），（藍3，藍2），共5個.

故根據古典概型可知，P（A）=516.

4 易錯點四：沒有注意“公式成立的前提條件”

例4一盒中裝有各色球6個，其中2個紅球、2個黑球、2個白球，現從中隨機取出2個球，求至少有一個紅球或一個黑球的概率.

錯解：設事件R為“從中隨機取出2個球”；

事件A為“從中隨機取出2個球，至少有一個紅球或一個黑球”； 事件B為“從中隨機取出2個球，有一個紅球”；事件C為“從中隨機取出2個球，有一個黑球”.

事件R包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（紅2，白1），（紅2，白2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（紅1，紅2），（黑1，黑2），（白1，白2），共15個.

事件B包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（紅2，白1），（紅2，白2），（紅1，紅2），共9個.

事件C包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（黑1，黑2），共9個.

故由互斥事件的概率加法公式，可得

P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）=915+915=65.

剖析：利用互斥事件的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）時，要注意事件A與B必須互斥.而本題中由于事件B，C都包含基本事件（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），所以事件B，C不是互斥的，從而事件A不能轉化為事件B，C之和，這是上述錯解的根源所在.

正解：設事件R為“從中隨機取出兩個球”；事件A為“從中隨機取出2個球，至少有一個紅球或一個黑球”；事件B為“從中隨機取出2個球，有紅球無黑球”；事件C為“從中隨機取出2個球，有黑球無紅球”；事件D為“從中隨機取出2個球，既有紅球又有黑球”.

事件R包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（紅2，白1），（紅2，白2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（紅1，紅2），（黑1，黑2），（白1，白2），共15個.

事件B包含的基本事件有（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，白1），（紅2，白2），（紅1，紅2），共5個.

事件C包含的基本事件有（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（黑1，黑2），共5個.

事件D包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），共4個.

因為易知事件A可轉化為彼此互斥的事件B，C，D之和，即A=B+C+D，故由互斥事件的概率加法公式，得所求概率為為P（A）=P（B+C+D）

=P（B）+P（C）+P（D）=515+515+415=1415.

5 易錯點五：將具體問題中的“測度”搞錯

例5如圖1，在△ABC中，∠B=π3，∠C=π4，高AD=3，在∠BAC內作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率.

錯解：由圖易計算得BD=1，DC=3，故由題設及幾何概型的概率計算公式得所求概率P=BDBC=11+3=3－12.

剖析：解題時，要特別注意對“在∠BAC內作射線AM交BC于點M”這句話的準確理解，由此可確定本題的測度應該是“角度”，而不是“長度”！所以上述錯解就是求概率時因轉化錯誤而導致的.

注意：如果把“在∠BAC內作射線AM交BC于點M”這句話修改為“在線段BC上找一點M”，那么上述錯解就是正確的.

正解：由圖易計算得BD=1，DC=3，所以目標事件發生的區域為∠BAD.

又∠BAD=π2－π3=π6，∠BAC=π－π3－π4=5π12，所以由幾何概型的概率計算公式得BM<1的概率P=∠BAD∠BAC=π65π12=25.

總之，關注“概率”章節常見解題易錯點，有利于幫助學生加深對教材基本知識和方法的準確理解，養成審慎思考的良好習慣，同時，能夠較好地培養學生數據分析、數學運算以及直觀想象等核心素養.一言以蔽之，關注易錯點，有利于借誤導悟，有利于逐步積累解題經驗，避免一些常見錯誤的產生！