高中數(shù)學(xué)新教材一個(gè)探究試驗(yàn)的商榷

樊彥朝 熊志權(quán)

摘要：“樣本空間”是高中數(shù)學(xué)新教材中引入的一個(gè)基本概念，該概念在概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)中較為經(jīng)典而成熟.普通高中教科書人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修三第七章第二節(jié)探究試驗(yàn)1是一個(gè)關(guān)于樣本空間的案例試驗(yàn)，本文中針對(duì)探究試驗(yàn)提出了四個(gè)商榷點(diǎn)，并對(duì)探究試驗(yàn)提出了改進(jìn)意見.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}商榷;探究試驗(yàn);隨機(jī)抽樣;樣本空間

1 問題提出

普通高中教科書人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修三（下文簡(jiǎn)稱教科書＼）第56頁的探究?jī)?nèi)容：

試驗(yàn)1從100個(gè)電子元件（至少含3個(gè)以上次品）中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，變量X表示三個(gè)元件中的次品數(shù)；

教科書＼中進(jìn)行了提示和解答：

對(duì)于試驗(yàn)1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1構(gòu)成的長(zhǎng)度為3的字符串表示樣本點(diǎn)，則樣本空間

Ω1={000，001，010，011，100，101，110，111}.

筆者認(rèn)為，試驗(yàn)1有以下4點(diǎn)可待商榷.

2 商榷點(diǎn)

2.1 商榷點(diǎn)1：至少含3個(gè)以上

試驗(yàn)1指出100個(gè)電子元件中“至少含3個(gè)以上次品”.“至少含3個(gè)以上”這是一個(gè)成分贅余的語句.“至少含3個(gè)”指的是“不小于3個(gè)”，“3個(gè)以上”指的是“多于3個(gè)”.“至少含3個(gè)以上次品”是一個(gè)有語病的句子，這在教材中是不應(yīng)該出現(xiàn)的.

2.2 商榷點(diǎn)2：隨機(jī)抽取3個(gè)

試驗(yàn)1中的表述“隨機(jī)抽取3個(gè)”，一般是指一次性從總體中抽取3個(gè)樣本.這三個(gè)樣本不分先后順序.教科書＼中指出實(shí)驗(yàn)1的樣本空間是Ω1={000，001，010，011，100，101，110，111}.如果我們認(rèn)為此樣本空間是正確的，那么樣本空間中的樣本點(diǎn)001，010，100代表的都是兩個(gè)合格品，一個(gè)次品的情形，而且抽到次品時(shí)順序分了先后，而合格品又沒有考慮順序.樣本空間中的樣本點(diǎn)011，101，110代表的都是兩個(gè)次品，一個(gè)合格品的情形，而且抽到合格品時(shí)順序分了先后，而次品又沒有考慮順序.這樣的樣本空間自身邏輯上是有矛盾的.

2.3 商榷點(diǎn)3：次品數(shù)

試驗(yàn)1指出100個(gè)電子元件中“至少含3個(gè)以上次品”.筆者認(rèn)為，教材編者的意思是強(qiáng)調(diào)次品個(gè)數(shù)不少，至少含有3個(gè).即使將“至少含3個(gè)以上次品”換成“至少含有3個(gè)次品”，試驗(yàn)1也是不明確的，對(duì)應(yīng)的樣本空間也是不確定的.如果次品數(shù)是99個(gè)或100個(gè)，那么一次性隨機(jī)抽取三個(gè)電子元件（一把抓3個(gè)），都不會(huì)出現(xiàn)三個(gè)合格品的情形.

2.4 商榷點(diǎn)4：樣本空間

樣本空間是高中教材新引入的概念，但是這個(gè)概念在概率統(tǒng)計(jì)中是比較成熟的.在普通高中教科書人教A版數(shù)學(xué)必修二中樣本空間是這樣定義的：

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間（samplespace）.

對(duì)于試驗(yàn)1，教科書＼中提供的樣本空間是不符合“樣本空間”定義的.

3 改進(jìn)意見

基于樣本空間的概念，試驗(yàn)1的樣本空間應(yīng)該是什么呢？

隨機(jī)試驗(yàn)的常用案例是抽取小球.通常有兩種：一種是不同的小球，描述成大小相同的小球，用顏色進(jìn)行區(qū)分，比如電子元件等；另一種是“完全相同”的小球，比如名額等.一般情況下，大小相同的小球本質(zhì)上還是不同的小球，只是抽取的可能性相等.試驗(yàn)1中的電子元件可以看做是不同的小球.

為了充分理解樣本空間，我們改進(jìn)試驗(yàn)，并給出改進(jìn)后試驗(yàn)的樣本空間.

改進(jìn)試驗(yàn)1：從100個(gè)電子元件（含80個(gè)合格品，20個(gè)次品）中有放回隨機(jī)抽取3次，每次抽取一個(gè)元件進(jìn)行檢驗(yàn).用C1，C2，C3，……，C99，C100表示這100個(gè)電子元件，則此試驗(yàn)的樣本空間

Ω1.1={（Ci，Cj，Ck）|1≤i≤100，1≤j≤100，1≤k≤100，i，j，k都是整數(shù)}.

改進(jìn)試驗(yàn)2：從100個(gè)電子元件（含80個(gè)合格品，20個(gè)次品）中不放回隨機(jī)抽取3次，每次抽取一個(gè)元件進(jìn)行檢驗(yàn).用C1，C2，C3，……，C99，C100表示這100個(gè)電子元件，則此試驗(yàn)的樣本空間

Ω1.2={（Ci，Cj，Ck）|1≤i≤100，1≤j≤100，1≤k≤100，i，j，k互不相等，都是整數(shù)}

改進(jìn)試驗(yàn)3：從5個(gè)電子元件（含2個(gè)合格品，3個(gè)次品）中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)元件進(jìn)行檢驗(yàn).用A1，A2表示合格品，B1，B2，B3表示次品，則此試驗(yàn)的樣本空間

Ω1.3={（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，B3），（A1，B1，B2），（A1，B1，B3），（A1，B2，B3），（A2，B1，B2），（A2，B1，B3），（A2，B2，B3），（B1，B2，B3）}.

這三個(gè)改進(jìn)試驗(yàn)學(xué)生容易理解，都可以用于本章節(jié)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)與探究.

那么，什么樣的試驗(yàn)的樣本空間會(huì)是教材中給出的樣式Ω1={000，001，010，011，100，101，110，111}呢？我們提出了以下3個(gè)改進(jìn)試驗(yàn).

改進(jìn)試驗(yàn)4：拋擲一枚硬幣3次，考察硬幣出現(xiàn)正反面的結(jié)果.用1表示出現(xiàn)正面，用0表示出現(xiàn)反面，則此試驗(yàn)的樣本空間

Ω1.4={000，001，010，011，100，101，110，111}.

改進(jìn)試驗(yàn)5：從100個(gè)名額（80個(gè)A類名額和20個(gè)B類名額）中有放回隨機(jī)抽取3個(gè)名額，每次抽取1個(gè)，用1表示A類名額，用0表示B類名額，則此試驗(yàn)的樣本空間

Ω1.5={000，001，010，011，100，101，110，111}.

改進(jìn)試驗(yàn)6：從100個(gè)名額（80個(gè)A類名額和20個(gè)B類名額）中不放回隨機(jī)抽取3個(gè)名額，每次抽取1個(gè)，用1表示A類名額，用0表示B類名額，則此試驗(yàn)的樣本空間

Ω1.6={000，001，010，011，100，101，110，111}.

4 結(jié)論

4.1 語言表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性

無論是思維的過程，還是表達(dá)的過程，都是語言承載思想.思想是思維的結(jié)果，體現(xiàn)了語言產(chǎn)生、發(fā)展與表達(dá)的內(nèi)心活動(dòng)＼.“至少”隱含著“以上”，“以上”也有“至少”之意.“至少”“以上”二者表示的是同一個(gè)意思，只能選用其一.“至少含3個(gè)以上”是病句，語病屬于成分贅余.語言是思維的外殼，表達(dá)一定要規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn).

4.2 抽樣方式的明確性

“隨機(jī)抽取”就是隨機(jī)抽樣，是一種等可能抽取樣本的方法，分為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣等抽樣方法.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分“放回隨機(jī)抽樣”和“不放回隨機(jī)抽樣”.放回隨機(jī)抽取3個(gè)（樣本）通常是指有放回抽取3次，每次抽取1個(gè)（樣本）；不放回隨機(jī)抽取3個(gè)（樣本）通常是指不放回抽取3次，每次抽取1個(gè)（樣本）.“隨機(jī)抽取3個(gè)（樣本）”還有一種理解，就是一次性抽取3個(gè)（樣本）即一把抓3個(gè)，這也是常規(guī)的理解.隨機(jī)試驗(yàn)的抽樣方式要非常明確.試驗(yàn)1中的表述“隨機(jī)抽取3個(gè)”是一種含糊的表述，導(dǎo)致了隨機(jī)試驗(yàn)的不確定，從而導(dǎo)致樣本空間的不確定性.

4.3? 樣本空間的確定性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出，樣本空間是概率與統(tǒng)計(jì)最基本的概念.文中指出，樣本空間與問題背景有關(guān)，與問題本身無關(guān)＼.事實(shí)上，樣本空間是確定的，由試驗(yàn)與問題背景決定，不會(huì)隨著考察問題的變化而變化.對(duì)于試驗(yàn)1而言，在明確了次品數(shù)（比如20個(gè)次品）的條件下，樣本空間與隨機(jī)抽取方式也是有關(guān)的.隨機(jī)抽取的方式不同，每一次抽取的基本結(jié)果也不同，也就是樣本點(diǎn)會(huì)不同，樣本空間自然也不同.如果是有放回隨機(jī)抽取3次元件，每次1個(gè)，那么樣本空間是由1003個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合；如果是不放回隨機(jī)抽取3次元件，每次1個(gè)，那么樣本空間是由A3100個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合；如果是一次性隨機(jī)抽取3個(gè)元件，那么樣本空間是由C3100個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合.無論哪種方式，都不會(huì)出現(xiàn)教科書＼中提供的樣本空間.

參考文獻(xiàn)：

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