當(dāng)向量遇上了平面幾何

陳梅英

摘要：回歸平面向量“形”的特征，綜合平面幾何中的基本定理、性質(zhì)、公式等的巧妙應(yīng)用，是直觀形象地破解平面向量問題的一種比較常用技巧方法.結(jié)合常用的平面幾何中的幾個基本定理與性質(zhì)，通過實例剖析，數(shù)形結(jié)合，巧妙解決平面向量問題.

關(guān)鍵詞：平面向量；平面幾何；中線定理；角平分線定理；射影定理

平面向量是高中數(shù)學(xué)中一個“數(shù)”與“形”同時兼?zhèn)涞奶厥鈹?shù)學(xué)元素，是數(shù)形結(jié)合的完整統(tǒng)一體，也是實現(xiàn)“數(shù)”與“形”巧妙化歸與轉(zhuǎn)化的結(jié)合體.特別地，當(dāng)平面向量遇上了平面幾何，借助平面幾何中相關(guān)概念、定理、性質(zhì)等的巧妙應(yīng)用，與平面向量知識合理交匯與融合，充分落實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗這“四基”，培養(yǎng)與提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題的能力，重視素養(yǎng)發(fā)展.

1 中線定理

三角形的中線定理：若AD是△ABC的中線，則有AB2+AC2=2（AD2+BD2）.涉及平面向量中的中點關(guān)系以及相關(guān)的模等問題時，有時可借助三角形的中線定理來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

例1已知C是平面ABD內(nèi)的一點，∠BAD=π3，CB=1，CD=3，若AP=AB+AD，則|AP|的最大值為.

分析：根據(jù)題目條件，通過余弦定理構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，進而確定對應(yīng)的邊長平方之間的關(guān)系，結(jié)合三角形的中線定理，利用平面向量的線性關(guān)系式與中點公式加以轉(zhuǎn)化，通過平面幾何的直觀轉(zhuǎn)化與處理，利用關(guān)系式的等量代換與變形，進而確定對應(yīng)向量的模的最值問題.

解：設(shè)B，D為兩個定點，根據(jù)題目條件可知CB+CD=4≥BD，當(dāng)且僅當(dāng)B，C，D三點共線時等號成立，此時點C在線段BD上，為線段BD的四等分點（靠近點B處）.

根據(jù)余弦定理，可得

cos A=AB2+AD2－BD22AB·AD=cos π3=12.

整理，可得BD2=AB2+AD2－AB·AD=12（AB2+AD2）+12（AB－AD）2≥12（AB2+AD2）.

所以AB2+AD2≤2BD2.

由三角形的中線定理，得AB2+AD2=12BD2+2AH2（其中H為線段BD的中點），則有

2AH2=AB2+AD2－12BD2≤32BD2.

而AP=AB+AD=2AH，即AH=12AP，所以2×14AP2≤32BD2，即AP2≤3BD2.

又因為4=CB+CD≥BD，所以AP2≤3BD2=3×42=48，則有|AP|≤43.

所以|AP|的最大值為43.故填答案：43.

點評：根據(jù)平面幾何背景，利用平面向量的概念、運算與關(guān)系式等，回歸平面向量“形”的本質(zhì)，從平面幾何角度直觀入手，通過線段中點的選取，結(jié)合平面向量的線性運算與概念以及三角形的中線定理等來建立關(guān)系式，并為進一步的變形轉(zhuǎn)化與化簡求值指明方向，數(shù)形結(jié)合，直觀想象.

2 角平分線定理

三角形的角平分線定理：若AD是∠BAC的角平分線，則有ABAC=BDCD.與平面幾何中角平分線有關(guān)的平面向量問題，經(jīng)常利用三角形的角平分線定理來構(gòu)建線段長度之間的比例關(guān)系，進而加以化歸與轉(zhuǎn)化.

例2（2020-2021學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）如圖1所示，已知BD為△ABC中∠ABC的角平分線，若BC=2AB=2，∠ABC=π3，則BD·AC=.

分析：根據(jù)題目條件，通過余弦定理確定三角形中第三邊AC的長度，進而確定三角形的形狀，結(jié)合三角形的角平分線定理構(gòu)建線段長度的比例關(guān)系，進而確定點D的位置，進一步綜合利用平面向量的數(shù)量積公式，借助向量投影來化歸，實現(xiàn)數(shù)量積的轉(zhuǎn)化與求解.

解：在△ABC中，BC=2AB=2，∠ABC=π3，則

AC=AB2+BC2－2·AB·AC·cos ∠ABC=3.

所以AB2+AC2=BC2，可知∠BAC=π2.

又由于BD為△ABC中∠ABC的角平分線，結(jié)合角平分線定理，可得ABBC=ADCD=12.

所以AD=13AC=33.

所以BD·AC=|BD||AC|cos∠ADB=|AD|＼5|AC|=33×3=1.故填答案：1.

點評：在平面向量問題中，通過平面幾何圖形的特征，借助三角形的角平分線定理，合理構(gòu)建線段長度之間的比例關(guān)系，為平面向量中的坐標(biāo)表示、線性關(guān)系與對應(yīng)的運算奠定基礎(chǔ)，借助平面向量的知識進一步分析與求解，達(dá)到綜合與應(yīng)用的目的.

3 射影定理

直角三角形的射影定理：在Rt△ABC中，∠C為直角，點D在斜邊AB上，滿足AB⊥CD，則有AC2=AD×AB，BC2=BD×AB.在直角三角形與圓等相關(guān)平面幾何圖形中，涉及直角問題時經(jīng)常通過射影定理來構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式.

例3（2022屆湖北省恩施州高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試卷·7）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD=2，CD=4，BD是圓的直徑，則AC·BD=（）.

A.12

B.－12

C.20

D.－20

分析：根據(jù)題目條件，通過圓的性質(zhì)確定線段的垂直關(guān)系，利用射影定理構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，結(jié)合平面向量的投影轉(zhuǎn)化對應(yīng)的平面向量的數(shù)量積，通過關(guān)系式的等價轉(zhuǎn)化加以分析與求解.

解析：如圖2，過點A，C分別作BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

由于BD是圓的直徑，則有AB⊥AD，CB⊥CD.

根據(jù)射影定理，可得|AD|2=|DE|×|BD|，|CD|2=|DF|×|BD|.

結(jié)合平面向量的投影，可得AC·BD=－|EF|×|BD|=－|BD|×（|DF|－|DE|）=－|BD||DF|+|BD|×|DE|=－|CD|2+|AD|2=－42+22=－12.

故選擇答案：B.

點評：巧妙利用圓的直徑所對的圓周角為直角，合理構(gòu)建直角三角形，進而利用直角三角形的射影定理來構(gòu)建關(guān)系式，為平面向量的數(shù)量積、投影等的應(yīng)用提供條件.利用平面向量的投影是破解平面向量的數(shù)量積問題比較常見的一類技巧方法，合理通過平面幾何“形”的特征加以數(shù)形結(jié)合來直觀解決.

4 三角形相似

利用三角形相似的判定與性質(zhì)，可以合理構(gòu)建平面幾何中對應(yīng)線段之間的比例關(guān)系，為進一步解決平面向量中的模、夾角、數(shù)量積等問題提供條件，有效聯(lián)系平面幾何與平面向量之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化.

例4〔“百師聯(lián)盟”2022屆高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)理科試卷·15〕）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E為CD的中點，若EF=2FB，且AF=λAB+μAD，則λ+μ=.

分析：根據(jù)題目條件，借助平面向量“形”的特征構(gòu)建對應(yīng)的平面幾何圖形，結(jié)合輔助線的構(gòu)建，通過平面向量中三點共線的等和線性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，直觀分析與求解.

解：如圖3所示，連接BD，交AF于點G.過點F作FH∥DB，交AB的延長線于點H.

由題意可知|DE|=|EC|=3.

由AF=|AF||AG|AG=|AF||AG|＼5（xAB+yAD）（其中x+y=1），

結(jié)合AF=λAB+μAD，可得λ+μ=|AF||AG|（x+y）=|AF||AG|=|AH||AB|.

由△BFH∽△EBD，得|BH||ED|=|BF||EB|.又EF=2FB，可得|BF||EB|=13，則有|BH|3=13，即|BH|=1.

所以λ+μ=|AH||AB|=6+16=76.故填答案：76.

點評：利用平面向量問題中平面幾何背景的直觀想象，結(jié)合平面幾何中向量的線性關(guān)系以及三角形相似的應(yīng)用等，合理構(gòu)建關(guān)系，實現(xiàn)問題的有效轉(zhuǎn)化與巧妙解決.特別地，抓住平面向量問題中“形”的特征，通過平面幾何相關(guān)知識的輔助應(yīng)用，直觀有效，更加直接.

平面向量往往和幾何交匯與結(jié)合（高中階段幾何主要包括平面幾何、平面解析幾何、立體幾何這幾個方面），合理鏈接初中平面幾何與高中平面向量這兩個知識之間的聯(lián)系，拓展到平面解析幾何與立體幾何等層面，實現(xiàn)不同知識點之間的融合與貫通，形成知識與能力間的滲透與拓展，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系，激發(fā)創(chuàng)新思維，增強實踐意識與創(chuàng)新應(yīng)用，全面提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).