當向量遇上了平面幾何

陳梅英

摘要：回歸平面向量“形”的特征，綜合平面幾何中的基本定理、性質、公式等的巧妙應用，是直觀形象地破解平面向量問題的一種比較常用技巧方法.結合常用的平面幾何中的幾個基本定理與性質，通過實例剖析，數形結合，巧妙解決平面向量問題.

關鍵詞：平面向量；平面幾何；中線定理；角平分線定理；射影定理

平面向量是高中數學中一個“數”與“形”同時兼備的特殊數學元素，是數形結合的完整統一體，也是實現“數”與“形”巧妙化歸與轉化的結合體.特別地，當平面向量遇上了平面幾何，借助平面幾何中相關概念、定理、性質等的巧妙應用，與平面向量知識合理交匯與融合，充分落實數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這“四基”，培養與提升發現問題、提出問題、分析問題以及解決問題的能力，重視素養發展.

1 中線定理

三角形的中線定理：若AD是△ABC的中線，則有AB2+AC2=2（AD2+BD2）.涉及平面向量中的中點關系以及相關的模等問題時，有時可借助三角形的中線定理來轉化與應用.

例1已知C是平面ABD內的一點，∠BAD=π3，CB=1，CD=3，若AP=AB+AD，則|AP|的最大值為.

分析：根據題目條件，通過余弦定理構建對應的關系式，進而確定對應的邊長平方之間的關系，結合三角形的中線定理，利用平面向量的線性關系式與中點公式加以轉化，通過平面幾何的直觀轉化與處理，利用關系式的等量代換與變形，進而確定對應向量的模的最值問題.

解：設B，D為兩個定點，根據題目條件可知CB+CD=4≥BD，當且僅當B，C，D三點共線時等號成立，此時點C在線段BD上，為線段BD的四等分點（靠近點B處）.

根據余弦定理，可得

cos A=AB2+AD2－BD22AB·AD=cos π3=12.

整理，可得BD2=AB2+AD2－AB·AD=12（AB2+AD2）+12（AB－AD）2≥12（AB2+AD2）.

所以AB2+AD2≤2BD2.

由三角形的中線定理，得AB2+AD2=12BD2+2AH2（其中H為線段BD的中點），則有

2AH2=AB2+AD2－12BD2≤32BD2.

而AP=AB+AD=2AH，即AH=12AP，所以2×14AP2≤32BD2，即AP2≤3BD2.

又因為4=CB+CD≥BD，所以AP2≤3BD2=3×42=48，則有|AP|≤43.

所以|AP|的最大值為43.故填答案：43.

點評：根據平面幾何背景，利用平面向量的概念、運算與關系式等，回歸平面向量“形”的本質，從平面幾何角度直觀入手，通過線段中點的選取，結合平面向量的線性運算與概念以及三角形的中線定理等來建立關系式，并為進一步的變形轉化與化簡求值指明方向，數形結合，直觀想象.

2 角平分線定理

三角形的角平分線定理：若AD是∠BAC的角平分線，則有ABAC=BDCD.與平面幾何中角平分線有關的平面向量問題，經常利用三角形的角平分線定理來構建線段長度之間的比例關系，進而加以化歸與轉化.

例2（2020-2021學年浙江省寧波市九校聯考數學試卷）如圖1所示，已知BD為△ABC中∠ABC的角平分線，若BC=2AB=2，∠ABC=π3，則BD·AC=.

分析：根據題目條件，通過余弦定理確定三角形中第三邊AC的長度，進而確定三角形的形狀，結合三角形的角平分線定理構建線段長度的比例關系，進而確定點D的位置，進一步綜合利用平面向量的數量積公式，借助向量投影來化歸，實現數量積的轉化與求解.

解：在△ABC中，BC=2AB=2，∠ABC=π3，則

AC=AB2+BC2－2·AB·AC·cos ∠ABC=3.

所以AB2+AC2=BC2，可知∠BAC=π2.

又由于BD為△ABC中∠ABC的角平分線，結合角平分線定理，可得ABBC=ADCD=12.

所以AD=13AC=33.

所以BD·AC=|BD||AC|cos∠ADB=|AD|＼5|AC|=33×3=1.故填答案：1.

點評：在平面向量問題中，通過平面幾何圖形的特征，借助三角形的角平分線定理，合理構建線段長度之間的比例關系，為平面向量中的坐標表示、線性關系與對應的運算奠定基礎，借助平面向量的知識進一步分析與求解，達到綜合與應用的目的.

3 射影定理

直角三角形的射影定理：在Rt△ABC中，∠C為直角，點D在斜邊AB上，滿足AB⊥CD，則有AC2=AD×AB，BC2=BD×AB.在直角三角形與圓等相關平面幾何圖形中，涉及直角問題時經常通過射影定理來構建對應的關系式.

例3（2022屆湖北省恩施州高三年級第一次教學質量監測考試數學試卷·7）圓內接四邊形ABCD中，AD=2，CD=4，BD是圓的直徑，則AC·BD=（）.

A.12

B.－12

C.20

D.－20

分析：根據題目條件，通過圓的性質確定線段的垂直關系，利用射影定理構建相應的關系式，結合平面向量的投影轉化對應的平面向量的數量積，通過關系式的等價轉化加以分析與求解.

解析：如圖2，過點A，C分別作BD的垂線，垂足分別為E，F.

由于BD是圓的直徑，則有AB⊥AD，CB⊥CD.

根據射影定理，可得|AD|2=|DE|×|BD|，|CD|2=|DF|×|BD|.

結合平面向量的投影，可得AC·BD=－|EF|×|BD|=－|BD|×（|DF|－|DE|）=－|BD||DF|+|BD|×|DE|=－|CD|2+|AD|2=－42+22=－12.

故選擇答案：B.

點評：巧妙利用圓的直徑所對的圓周角為直角，合理構建直角三角形，進而利用直角三角形的射影定理來構建關系式，為平面向量的數量積、投影等的應用提供條件.利用平面向量的投影是破解平面向量的數量積問題比較常見的一類技巧方法，合理通過平面幾何“形”的特征加以數形結合來直觀解決.

4 三角形相似

利用三角形相似的判定與性質，可以合理構建平面幾何中對應線段之間的比例關系，為進一步解決平面向量中的模、夾角、數量積等問題提供條件，有效聯系平面幾何與平面向量之間的關聯與轉化.

例4〔“百師聯盟”2022屆高三一輪復習聯考（一）全國卷Ⅰ數學理科試卷·15〕）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E為CD的中點，若EF=2FB，且AF=λAB+μAD，則λ+μ=.

分析：根據題目條件，借助平面向量“形”的特征構建對應的平面幾何圖形，結合輔助線的構建，通過平面向量中三點共線的等和線性質、三角形相似的性質加以轉化與應用，數形結合，直觀分析與求解.

解：如圖3所示，連接BD，交AF于點G.過點F作FH∥DB，交AB的延長線于點H.

由題意可知|DE|=|EC|=3.

由AF=|AF||AG|AG=|AF||AG|＼5（xAB+yAD）（其中x+y=1），

結合AF=λAB+μAD，可得λ+μ=|AF||AG|（x+y）=|AF||AG|=|AH||AB|.

由△BFH∽△EBD，得|BH||ED|=|BF||EB|.又EF=2FB，可得|BF||EB|=13，則有|BH|3=13，即|BH|=1.

所以λ+μ=|AH||AB|=6+16=76.故填答案：76.

點評：利用平面向量問題中平面幾何背景的直觀想象，結合平面幾何中向量的線性關系以及三角形相似的應用等，合理構建關系，實現問題的有效轉化與巧妙解決.特別地，抓住平面向量問題中“形”的特征，通過平面幾何相關知識的輔助應用，直觀有效，更加直接.

平面向量往往和幾何交匯與結合（高中階段幾何主要包括平面幾何、平面解析幾何、立體幾何這幾個方面），合理鏈接初中平面幾何與高中平面向量這兩個知識之間的聯系，拓展到平面解析幾何與立體幾何等層面，實現不同知識點之間的融合與貫通，形成知識與能力間的滲透與拓展，構建知識網絡體系，激發創新思維，增強實踐意識與創新應用，全面提升數學能力，培養數學核心素養.