“轉化與化歸”思想在高中數學解題教學中的應用

李碩

“轉化與化歸”思想是高學數學中的一種重要的數學思想，運用非常廣泛，尤其是一些特殊的問題，運用“轉化與化歸”思想解題可以提高效率，同時還可以降低問題解決的難度.因此，在數學課堂引入并應用轉化與化歸思想，能夠讓學生在學習數學及解題的過程中，加深對數學概念的理解，同時也能有效鍛煉數學思維，提高學習效率，進一步發展數學核心素養.

在高中數學的解題過程中，基于“轉化與化歸”思想的三大原則，主要運用的解題方法包括特殊與一般的轉化、命題的等價轉化，以及函數、方程、不等式之間的轉化等一些常見的轉化方法.

1 特殊與一般的轉化

將一般問題進行特殊化處理，可使問題的解決變得更為直接和簡便，并且還能從特殊情況中尋找問題解決的常規思維；除此之外，對特殊性問題進行概括性研究，實現特殊問題一般化，也能從宏觀與全局的角度把握特殊性問題的普遍規律，并能有效地解決特殊性問題.

例1“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓C：x2a+1+y2a=1（a>0）的離心率為12，則橢圓C的蒙日圓的方程為（）.

A.x2+y2=9

B.x2+y2=7

C.x2+y2=5

D.x2+y2=4

分析：根據題目中的已知條件，在橢圓上，兩條相互垂直的切線可以隨意選擇，但其交點位于與橢圓同心的圓卻是唯一的，也即答案是唯一的.由此，可以通過選取一般問題的特殊情形找到一般的解題思路，不妨利用過橢圓的右頂點和上頂點的兩條切線進行解題.

解：因為橢圓C：x2a+1+y2a=1（a>0）的離心率為12，所以1a+1=12，解得a=3.

所以橢圓C的方程為x24+y23=1，且橢圓C的上頂點為A（0，3），右頂點為B（2，0），

則橢圓在A，B兩點的切線方程分別為y=3和x=2，

這兩條切線的交點坐標為M（2，3）.

由題意可知，交點M必在一個與橢圓C同心的圓上，可得與橢圓C同心的圓的半徑r=22+（3）2=7.

所以橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=7.

故選：B.

以問題的特征為依據，對命題進行轉化，將原問題轉化為與之相關的、容易解決的新問題，這也是解決數學問題常見的轉化思路，并且可以通過這種轉化逐步培養識別關鍵信息的能力.

2 命題的等價轉化

把題目中已有的條件或者結論進行相應的轉化，化難為易，是解決較難問題常用的轉化手段.其主要方法包括：數與形的轉化、正與反的轉化、常量與變量的轉化、圖形形體及位置的轉化等.

例2由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是（－∞，a），則實數a的值是.

分析：利用轉化思想可以將命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題轉化為“對任意x∈R，e|x－1|－m>0是

真命題”，由此得出m

解：由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，可知“對任意x∈R，e|x－1|－m>0是真命題”，由此可得m的取值范圍是（－∞，1），而（－∞，a）與（－∞，1）為同一區間，故a=1.

例3若對于任意t∈［1，2］，函數g（x）=x3+m2+2x2－2x在區間（t，3）上總不為單調函數，則實數m的取值范圍是.

分析：根據函數g（x）=x3+m2+2x2－2x在區間（t，3）上總不為單調函數，可以利用正難則反的轉化思想先找出g（x）在（t，3）上單調的條件，再利用補集思想求出m的取值范圍.

解：求得g′（x）=3x2+（m+4）x－2.

若g（x）在（t，3）上單調遞增，則g′（x）≥0，即3x2+（m+4）x－2≥0，

亦即m+4≥2x－3x在x∈（t，3）上恒成立.

故m+4≥2t－3t在t∈［1，2］上恒成立，則m+4≥－1，

即m≥－5.

若g（x）在（t，3）上單調遞減，則g′（x）≤0，即

m+4≤2x－3x在x∈（t，3）上恒成立，所以m+4≤23－9，即m≤－373.

綜上，符合題意的m的取值范圍為－373

根據命題的等價性對題目條件進行明晰化處理是解題常見的思路；對復雜問題采用正難則反的轉化思想，更有利于問題得到快速解答.

3 函數、方程、不等式之間的轉化

函數與方程、不等式之間有著千絲萬縷的關聯，通過結合函數y=f（x）圖象可以確定方程f（x）=0，不等式f（x）>0和f（x）<0的解集.

例4若2x－2y<3－x－3－y，則（）.

A.ln（y－x+1）>0

B.ln（y－x+1）<0

C.ln|x－y|>0

D.ln|x－y|<0

分析：由題意，可將2x－2y<3－x－3－y轉化為2x－3－x<2y－3－y，進而實現不等式與函數之間的轉化，從而解得答案.

解：由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y.

故構造函數y=2x－3－x，即y=2x－13x.

由于函數y=2x－13x在R上單調遞增，

因此x1.

所以ln（y－x+1）>ln 1=0.

故選擇：A.

例5已知函數f（x）=eln x，g（x）=1ef（x）－（x+1）.（e=2.718……）

（1）求函數g（x）的最大值；

（2）求證：1+12+13+……+1n>ln（n+1）

（n∈N+）.

分析：第（1）問要求函數g（x）的最大值，關鍵在于需要運用轉化與劃歸思想，通過g′（x）得出函數g（x）單調性，即可求出g（x）的最大值.將第（1）問得出的g（x）最大值-2轉化成ln x－（x+1）≤－2，即ln x≤x－1

（當且僅當x=1時等號成立），再利用換元法最終證明出結論.

解：（1）由g（x）=1ef（x）－（x+1），

即g（x）=ln x-（x+1），得

g′（x）=1x－1（x>0）.

令g′（x）>0，則0

令g′（x）<0，則x>1.

所以，函數g（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減.

故g（x）的最大值為=g（1）=－2.

（2）證明：由（1）知x=1是函數g（x）的極大值點，也是最大值點，故g（x）≤g（1）=－2.

所以ln x－（x+1）≤－2，即ln x≤x－1（當且僅當x=1時等號成立）.

令t=x－1，則有t≥ln（t+1）（t>－1）.

取t=1n（n∈N+），則有1n>ln1+1n=

lnn+1n.

故1>ln 2，12>ln32，13>ln43，

……，1n>lnn+1n.

上面n個不等式疊加，得1+12+13+……+1n>ln2×32×43×……×n+1n=ln（n+1）.

故1+12+13+……+1n>ln（n+1）（n∈N+）.

在分析此類題目的過程中，利用函數、方程、不等式進行轉化與化歸更有利于問題的解決，因此，利用轉化與劃歸思想不僅能讓整個數學知識的體系變得更加緊密，同時也能對學生從系統性角度掌握數學知識之間的聯系提供非常大的幫助.

轉化與化歸思想所蘊含的內容豐富且深奧，為高中數學問題的解決提供了多種思路，對高中數學的學習也有極大的指導與啟發作用，值得我們不斷地探索與研究.因此，在解決高中數學問題的過程中，要靈活運用“轉化與化歸”的解題思想.有些數學問題看似復雜，但通過分析可知出題者采用的是“障眼法”，其中有的是多余或無用的條件.同時，在高中數學課堂教學中，教師可以在解題教學過程中滲透轉化與化歸思想，加強學生在特殊與一般轉化、命題的等價轉化以及函數、方程、不等式之間的轉化等方面的技能，逐步鍛煉學生簡化題目內容的能力和意識，最大程度提高解題效率.