基于波利亞數學解題思想的解題教學

劉思寧 吳麗華

摘要：本文中以高考中圓錐曲線的“最值問題”為例，探析波利亞解題思想在數學解題教學中的應用，尋找能夠啟發學生數學思維的解題教學方法.

關鍵詞：波利亞；解題教學；圓錐曲線

圓錐曲線是高中數學的重要內容，也是高考數學重點考查的內容.這部分內容對于學生來說比較吃力，故本文中以圓錐曲線的“定值、最值問題”為例，探析波利亞解題思想在圓錐曲線解題教學中的應用.

1 波利亞的解題理論

“一個好的解法是如何想出來的？”這是大部分學生在完成數學作業中一直困惑的問題.波利亞［1］在《怎樣解題》中的每一個問題就像是解決問題思維過程的“慢鏡頭動作”，也像是我們解決問題時內心的獨白.

第1步：理解題意［2］.

理解問題的含義是波利亞“如何解決問題表”的第一步，即檢查問題.學生應該熟悉問題，并回憶起相關的知識，以找到未知的數量、已知的數據和條件，并用數學符號表達條件給出的信息.

第2步：擬定方案.

擬定方案是問題解決的中心環節，關鍵是要找到已知條件和所求問題之間的密切關聯，從而形成一個可行的解題方案.學生要根據頭腦中原有的數學知識結構找到與所求問題之間的橋梁.

第3步：執行方案.

方案擬定完成，這個階段學生要做的是認真寫下解題過程，確保條件充分使用，在解決過程中準確無誤，思路清晰.

第4步：回顧.

回顧是檢查問題解決活動的過程，也是問題解決活動中一個重要也很容易被忽視的環節.我們得出的解決問題的方法，要經得起“特殊”的檢驗，哪怕有特殊個體出現也適用才行，因為，我們找到的解決方法需要能重復使用，甚至能解決其他領域的問題.解答完后還需要復盤，找到可以改進的地方.

2 解題教學方法探析

筆者試圖將解題教學策略應用在圓錐曲線的綜合問題中，以近年來圓錐曲線常考的問題，如軌跡方程，圓錐曲線有關的最值問題為例.

例題如圖1，已知點F（1，0）為拋物線y2=4x的焦點.過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側.記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2.求S1S2的最小值.

解題分析：

第1步：理解題目.

教師：未知是什么？

學生：S1S2的最小值.

教師：已知是什么？

學生：焦點F（1，0）；拋物線方程y2=4x；△ABC的重心G在x軸上；Q在點F的右側.

教師：條件是什么？

學生：過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側.記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2.

教師：是否滿足條件？

學生：滿足條件.

①根據三角形重心性質構建三角形面積之比；

②通過相似三角形和三角形的性質將面積比轉化為底邊之比；

③利用面積和縱坐標之間的關系，借助基本不等式、最值求解方法、韋達定理，求得比值的最小值.

教師：要確定條件是否充分？是否多余？是否矛盾？

學生：條件應該是充分的.

①已知點G為三角形的重心，可得△AFG和△CQG與△ABC面積比值.設點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），這里y1＞0，將面積之比轉化為邊長之比，再由邊長之比轉化為坐標之比.

②由三角形重心坐標公式，得y1+y2+y3=0，將直線與橢圓方程聯立，通過韋達定理進一步得出S1S2.

③根據最值知識點求解問題.

點評：題目當中所蘊含的條件比較多，需要學生對其進行一一分析，體會條件與條件的關系.

第2步：制定計劃.

教師：本題與以前做過的題目相類似嗎？由此能聯想到什么？

學生：有過類似的題目.能聯想到三角形高線性質、焦點弦、最值的求解問題等.

教師：解決此類問題有什么常用方法？

學生：有幾何問題代數化法，利用函數求最值等.

教師：能以其他方法敘述這道題目嗎？

學生：

①拋物線上三點A，B，C形成三角形，三角形的重心在x軸上；

②根據重心的相關性質，將面積之比轉化為點的縱坐標之比，得出S1S2；

③利用換元法簡化算式，化簡后結合函數的單調性求解.

點評：結合題目給出的條件，從已知推未知，梳理思路，建立聯系.

第3步：執行計劃.

教師：上述解題思路是正確的嗎？

學生：是正確的.根據三角形重心，得出△AFG和△CQG與△ABC面積的關系，再轉化為縱坐標之比；根據三角形重心坐標公式，找出縱坐標y1，y2，y3的關系進行轉化；針對問題建立關于參數的函數式，利用函數單調性或者求極值的方法求最值，并結合換元法來簡化計算.

教師：能否證明它是正確的？

學生：延長AG，交線段BC于點P，由△ABC的重心為點G，可得AG∶GP=2∶1，所以S△BGC=13S△ABC.同理，可得S△AGC=13S△ABC，S△CGQ=|CQ||AC|S△AGC.又因為|CQ||AC|=|y3||y3|+y1，所以S△CGQ=S2=|y3||y3|+y1＼5S△ABC3.又|AF||AB|=y1|y2|+y1，所以S△AFG=S1=|AF||AB|＼5S△ABC3=y1|y2|+y1＼5S△ABC3.故S1S2=y1|y2|+y1＼5|y3|+y1|y3|.

根據三角形重心坐標公式，可知y1+y2+y3=0.因為直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側，所以只需點C在點B的右側，即y34，所以t=8+43，可知所求的t為u的最大值點，此時S1S2最小，將t=8+43代入可求得S1S2的最小值等于1+32.

點評：整個解題過程建立在數形結合的基礎之上，這個過程需要學生有一定的運算能力，通過最值問題的求解提升學生的數學運算核心素養和推理論證能力.

第4步：回顧.

教師：此題主要考查了哪些知識點？解決最值問題可以從哪些變量入手？

學生：三角形面積的比值的最小值問題，其中涉及了拋物線、直線方程、重心性質、韋達定理等基礎知識，考查了運算求解與轉換化歸的思想.求函數最值常用配方法、單調性法、判別式法、基本不等式法、導數法和換元法等搭配使用.

點評：本題所涉及的知識點較多，運用的方法也比較多元，計算量大，需要學生有很強的邏輯思維才能完成.通過此題的練習，學生在解圓錐曲線最值問題的求解方面會有很大突破.

在解決問題的過程中，教師需要把握教學目標，鞏固學生對已學知識的認知結構，豐富學生對問題的認知體驗，培養學生解決問題的能力和興趣.以波利亞＼的《怎樣解題》為依據，教師也應立足主題，充分發揮主題的價值，并運用到實際教學中.

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.

[2]周晨晨.淺談波利亞四步解題法在數學解題中的應用——以一道高考圓錐曲線題為例［J］.數學學習與研究，2020（5）：133-134.