平面向量的極化恒等式解題研究

劉勝男

摘要：極化恒等式是解決向量數量積問題的利器，可以簡化運算.本文中介紹了極化恒等式的兩個模型及幾何意義，并結合極化恒等式的具體應用案例，通過比較解法，分析極化恒等式在解決問題時的優點.

關鍵詞：極化恒等式；平面向量；解題研究

高考對于向量部分知識點的考查中，數量積運算占比極大，解決平面向量數量積問題主要有公式法和坐標法這兩種常規方法.本文中介紹一種新的解法，利用極化恒等式解決一般方法不容易計算的數量積問題，特別在“求取值范圍”問題中有著廣泛應用.“極化恒等式”這一內容源自大學數學“泛函分析”，它表明數量積可以由它誘導出的范數來表示，把極化恒等式降維至二維平面，則可以非常巧妙地建立起向量數量積與向量模長之間的聯系，即僅用向量模長表示向量的數量積，從而實現向量和幾何、向量和代數的精妙結合.

1 極化恒等式

極化恒等式標準形式：對于兩個非零向量a，b，有

a＼5b=14［（a+b）2－（a－b）2］.

其幾何意義為非零向量a，b的數量積等于以這組向量對應的線段為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的14.由此可以得到極化恒等式在平行四邊形中的推廣.

推廣1如圖1，在ABCD中，有AB＼5AD=14（AC2－BD2）.

在平行四邊形中，可以用它來解決一些與數量積范圍或最值相關的問題，同時保留了更直觀的幾何意義.當然，也可以在三角形中構造極化恒等式，這也是極化恒等式的第二個推廣.

推廣2如圖2，在△ABC中，I為BC的中點，有AB＼5AC=AI2－14BC2=AI2－BI2.

2 極化恒等式的優越性

例1（2017年新課標Ⅱ卷）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA＼5（PB+PC）的最小值是.

解法1：（坐標法）如圖3所示，以BC的中點O為坐標原點，直線BC為x軸，直線AO為y軸建立平面直角坐標系，

則A（0，3），B（-1，0），C（1，0）.

設P（x，y），則PA=（－x，3－y），PB=（－1－x，－y），PC=（1－x，－y）.

所以PA＼5（PB+PC）=2x2－23y+2y2=2x2+y－322－34，當x=0，y=32時，取得最小值，且最小值為2×－34=－32.

解法2：（極化恒等式法）設BC的中點為O，OA中點為D，由向量加法法則和極化恒等式，可得PA＼5（PB+PC）=2PA＼5PO=2（PD2－OD2）=2PD2－34≥－32.故PA＼5（PB+PC）的最小值為-32.

變式在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=π2，AB=BC=2，M，N（不與A，C重合）為AC邊上的兩個動點，且滿足|MN|=2，則BM＼5BN的取值范圍為.

解法1：（坐標法）如圖4，以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則直線AC的方程為x+y=2.設M（a，2－a），0

所以BM=（a，2－a），BN=（a+1，1－a），可得BM＼5BN=a（a+1）+（2－a）（1－a）=2a2－2a+2=2a－122+32.又0

解法2：（極化恒等式法）設MN的中點為D，點D（t，2－t），12

點評：從例1及其變式的解法可以發現，使用常規坐標法步驟繁瑣，在計算上花費時間較長，還可能會由于疏忽導致做錯，而采用極化恒等式法，只需找到三角形邊的中點，可以代入公式，題目便迎刃而解.把平面向量數量積這種抽象的問題轉變為代數問題進行求解，可以簡化計算.解法2體現出極化恒等式在計算向量的數量積中的優越性.

3 極化恒等式的應用舉例

題型1：定值問題.

例2如圖5，在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則EF＼5FG+GH＼5HE等于.

解：設HF的中點為O，則EF＼5FG=EF＼5EH=EO2－OH2=1－122=34，GH＼5HE

=GH＼5GF=GO2－OH2=1－122=34.

故EF＼5FG+GH＼5HE=32.

題型2：范圍問題.

例3邊長為1的正方形內有一個內切圓，MN是內切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，PM＼5PN的取值范圍是.

解：如圖6，設正方形ABCD的內切圓為圓O，當弦MN的長度最大時，MN為圓O的一條直徑，

則PM＼5PN=|PO|2－|OM|2=|PO|2－14.

當P為正方形ABCD的某邊中點時，|OP|min=12；當P與正方形ABCD的頂點重合時，|OP|max=22.所以12≤|OP|≤22.

故PM＼5PN=|PO|2－14∈0，14.

題型3：求參問題.

例4如圖7，已知AB是圓O：x2+y2=1的任意一條直徑，點P在直線x+2y－a=0（a>0）上運動，若PA＼5PB的最小值為4，則實數a的值為.

解：由題意可知，O為AB的中點，AB=2.由極化恒等式，得PA＼5PB=|PO|2－14|AB|2=|PO|2-1.故當PA＼5PB取最小值4時，|PO|min=5，此時，|PO|為點O到直線x+2y－a=0的距離，因此|－a|12+22=5，解得a=5.

例5設P0是△ABC中AB邊上的定點，滿足P0B=14AB，且對于AB邊上任意一點P，恒有PB＼5PC≥P0B＼5P0C，則△ABC的形狀為.

解：如圖8，取BC的中點D，連接PD，P0D，則PB＼5PC=|PD|2－14|BC|2，P0B＼5P0C=|P0D|2－14|BC|2.因為PB＼5PC≥P0B＼5P0C恒成立，即|PD|2－14|BC|2≥|P0D|2－14|BC|2，亦即|PD|≥|P0D|恒成立，所以P0D⊥AB.設O為AB的中點，連接OC，則P0B=12OB，可得P0D∥OC，所以OC⊥AB且AC=BC，即△ABC是以C為頂角的等腰三角形.

4 總結

數學解題不是簡單的做題訓練，它更像是知識的再創造.解題是學習數學的重要一環，學會了解題意味著學生不僅具備了解決新問題的能力，同時也培養了他們的邏輯思維、創造性思維和問題解決的技能.利用極化恒等式可以求數量積的值、界定數量積的取值范圍、探求數量積的最值、處理長度問題，以及解決一些綜合性問題.因此，教師站在更高層面，為學生講解一類新的解題模型是有必要的［1］.

參考文獻：

［1］陳曉明.極化恒等式在平面向量中的應用舉例[J].數理化學習（高中版），2021（12）：3-5.