借助特殊思維，構(gòu)建熟知模型

劉海杰

在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助構(gòu)建適當(dāng)?shù)奶厥鈹?shù)學(xué)模型，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本化、模型化、熟知化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的合理遷移與轉(zhuǎn)化，通過(guò)熟知數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的分析、處理與破解，實(shí)現(xiàn)特殊思維化處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.

1 巧構(gòu)函數(shù)模型妙解題

熟知的基本函數(shù)模型是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型之一，借助一些基本的初等函數(shù)模型的構(gòu)建與應(yīng)用，有效聯(lián)系函數(shù)與方程、不等式等的問(wèn)題，是解決與之有關(guān)的問(wèn)題中比較常用的技巧方法，在此類問(wèn)題的應(yīng)用中經(jīng)常有數(shù)學(xué)構(gòu)造法的影子.

例1（多選題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則（）.

A.f（0）=0

B.f（1）=0

C.f（x）是偶函數(shù)

D.x=0為f（x）的極小值點(diǎn)

分析：綜合題干與選項(xiàng)，通過(guò)特殊值的賦值與應(yīng)用，并利用特殊函數(shù)的構(gòu)建來(lái)分析與判斷.

解析：令x=y=0，代入可得f（0）=0；令x=y=1，代入可得f（1）=0.故選項(xiàng)A，B正確.

令x=y=－1，代入可得f（－1）=0.單令y=－1，則有f（－x）=f（x）+x2f（－1）=f（x），可知f（x）是偶函數(shù).故選項(xiàng)C正確.

對(duì)于條件f（xy）=y2f（x）+x2f（y），當(dāng)x，y≠0時(shí)，有f（xy）x2y2=f（x）x2+f（y）y2，利用關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，取特殊函數(shù)f（x）x2=ln|x|（x≠0），于是f（x）=x2ln|x|，x≠0，0，x=0，此時(shí)x=0不是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn).故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選擇：ABC.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些抽象函數(shù)及其相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助抽象函數(shù)所滿足的基本性質(zhì)加以具體化，通過(guò)熟知的函數(shù)模型的構(gòu)建，以具體函數(shù)來(lái)解決抽象函數(shù)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的破解與應(yīng)用.

2 巧構(gòu)方程模型妙解題

二次方程等熟知模型與對(duì)應(yīng)函數(shù)緊密相關(guān)，借助方程模型的構(gòu)建，可以很好地破解一些和代數(shù)式、函數(shù)與方程有關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)方程的應(yīng)用，特別是利用構(gòu)造法來(lái)轉(zhuǎn)化與處理一些問(wèn)題.

例2已知a>0，b>0，則1a+ab2+b的最小值為.

分析：根據(jù)所求代數(shù)式進(jìn)行待定系數(shù)法處理，將問(wèn)題方程化，結(jié)合關(guān)于參數(shù)a的二次方程有正數(shù)解，建立對(duì)應(yīng)的不等式，分離系數(shù)，利用基本不等式來(lái)確定t的最小值，從而得以求解代數(shù)式最值問(wèn)題.

解析：由于a>0，b>0，令1a+ab2+b=t>0，變形整理可得a2+（b3－tb2）a+b2=0.

要使關(guān)于參數(shù)a的二次方程有正數(shù)解，

則需滿足b3－tb2<0且Δ=（b3－tb2）2－4b2≥0有解，整理可得b3－tb2<0且Δ=（b3－tb2）2≥4b2有解，解得b3－tb2≤－2b，即t≥b+2b有解.

利用基本不等式，可得t≥b+2b≥2b×2b=22，當(dāng)且僅當(dāng)b=2b，即b=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a=2.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填：22.

點(diǎn)評(píng)：引入?yún)?shù)進(jìn)行待定系數(shù)法處理，結(jié)合方程模型進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)造，借助方程思維，利用不等式的求解以及基本不等式的應(yīng)用來(lái)巧妙破解.

3 巧構(gòu)數(shù)列模型妙解題

數(shù)列模型是函數(shù)模型的一個(gè)特例，借助數(shù)列模型的構(gòu)建，通過(guò)新數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本性質(zhì)等來(lái)巧妙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.借助新數(shù)列的構(gòu)建，有效轉(zhuǎn)化一些陌生的數(shù)列問(wèn)題，變形為常見(jiàn)的數(shù)列問(wèn)題，利用構(gòu)造法來(lái)處理.

例3若ai∈N*（i=1，2，……，9），對(duì)關(guān)系式ak=ak－1+1或ak=ak+1－1（2≤k≤8）中有且僅有一個(gè)成立，且滿足a1=6，a9=9，則a1+a2+……+a9的最小值為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差值是1或－1，進(jìn)而借助數(shù)學(xué)構(gòu)造法，構(gòu)建新數(shù)列bk=ak+1－ak，結(jié)合新數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征加以分類討論，從奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)兩個(gè)不同層面來(lái)分析，通過(guò)比較即可確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.

解析：設(shè)bk=ak+1－ak（k≥1），由題意可得bk，bk－1恰有一個(gè)為1.

（1）如果b1=b3=b5=b7=b9=1，那么a1=6，a2=7，a3≥1，a4=a3+1≥2，同樣也有a5≥1，a6=a5+1≥2，a7≥1，a8=a7+1≥2，則a1+a2+……+a9≥

6+7+1+2+1+2+1+2+9=31；

（2）如果b2=b4=b6=b8=1，那么a8=8，a2≥1，a3=a2+1≥2，同樣也有a4≥1，a5≥2，a6≥1，a7≥2，則a1+a2+……+a9≥6+1+2+1+2+1+2+8+9=32.

綜上可知所求的最小值是31.故填：31.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)作差換元處理，合理構(gòu)建數(shù)列模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)造，可操作性強(qiáng)，破解起來(lái)自然流暢，是一種不錯(cuò)的解題方法.借助數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，合理“翻譯”題意來(lái)分析與應(yīng)用.

4 巧構(gòu)平面幾何模型妙解題

熟知的平面幾何圖形與相應(yīng)模型是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是用來(lái)解決一些與之相關(guān)的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)模型，特別是與三角函數(shù)、平面向量以及解三角形等問(wèn)題相關(guān)時(shí)，通過(guò)合理構(gòu)建，直接有效.

例4已知向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，則a·b+b·c+c·a=.

分析：根據(jù)平面幾何作圖處理，合理構(gòu)造，利用圖形的對(duì)稱性，結(jié)合平面幾何中特殊圖形的幾何性質(zhì)來(lái)分析并確定對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度，通過(guò)平面向量的投影確定對(duì)應(yīng)三個(gè)向量?jī)蓛芍g的數(shù)量積.

解析：如圖1所示，設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，連接BC，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作BO的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為N.結(jié)合題目條件以及圖形的對(duì)稱性可知，4|OM|=2|OA|=|OB|=|OC|=2，BC⊥AM，

則有b+c=2OM.結(jié)合勾股定理，可得|BM|=|CM|=22－122=152.由△BMO∽△BNC，可得|BM||BO|=|BN||BC|，即1522=2+|ON|15，解得|ON|=74.

而利用投影，可知a·b=a·c=1×－12=－12，b·c=2×－74=－72，所以a·b+b·c+c·a=－92.故填答案：－92.

點(diǎn)評(píng)：借助平面幾何圖形的構(gòu)建，幾何直觀對(duì)稱，垂直投影運(yùn)算.特別在解決一些解三角形、平面向量等問(wèn)題中，合理利用構(gòu)造法，結(jié)合三角形、四邊形、圓等幾何模型確定邊、角等元素，直觀形象，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的破解.

5 巧構(gòu)解析幾何模型妙解題

熟知的平面解析幾何模型可用于解決與三角函數(shù)、解三角形、代數(shù)與創(chuàng)新等相關(guān)的問(wèn)題.借助解析幾何模型，引入坐標(biāo)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算加以邏輯推理，快捷處理.

例5若α∈0，π2，tan 2α=cos α2－sin α，則tan α=（）.

A.1515

B.55

C.53

D.153

分析：根據(jù)題設(shè)條件，抓住已知條件中三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征加以合理構(gòu)造，借助平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面坐標(biāo)系中相關(guān)直線的位置關(guān)系問(wèn)題，化“數(shù)”為“形”，利用平面解析幾何知識(shí)來(lái)分析與處理.

解析：如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，其中A（0，2），點(diǎn)P在單位圓x2+y2=1上，且點(diǎn)B在直線AP上.令∠POC=α，則P（cos α，sin α）.

設(shè)∠BOC=2α，

由tan 2α=cos α2－sin α，得tan 2α=－1sin α－2cos α－0，則有kOB·kAP=－1，即OB⊥AP.

又∠POC=∠BOP=α，所以∠OAB=∠BOC=2α，∠OPA=π2－α.由|OB|=|OA|sin 2α=|OP|sinπ2－α，得2sin 2α=sinπ2－α.

整理可得4sin αcos α=cos α.

由α∈0，π2，可知cos α≠0，則有sin α=14，利用平方關(guān)系有cos α=1－sin 2α=154.

所以tan α=sin αcos α=14154=1515.故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：利用平面解析幾何模型，從直觀圖形層面來(lái)解決一些特殊的三角函數(shù)問(wèn)題，有效回避了復(fù)雜的三角函數(shù)公式與應(yīng)用.特別，利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法，結(jié)合解析幾何模型的構(gòu)建，有奇效.

巧妙構(gòu)建特殊且熟知的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，特別是借助函數(shù)與方程、不等式與數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量與解三角形，以及解析幾何與立體幾何等基本數(shù)學(xué)模型的特征與性質(zhì)，解題時(shí)才能無(wú)形中將問(wèn)題與這些熟知的基本數(shù)學(xué)模型加以巧妙融合，“化生為熟”“化繁為簡(jiǎn)”“化難為易”，開(kāi)拓思路，柳暗花明，迎刃而解.