對一道圓錐曲線問題的探究與拓廣

郭永生

摘要：深刻剖析典型問題本質，發現規律，找到題眼，把問題弄得清清楚楚、明明白白，真正把提升數學素養落地做實，培養科學精神，提高數學學習效率.

關鍵詞：剖析問題；圓錐曲線；定點；定值

一套成功的試卷總是不乏好題，立意新穎，典型突出，亮點十足，引人注目.這類試題往往知識融合自然，考點科學交匯，具有良好的教研價值，倍受眾多數學愛好者青睞，非常值得我們深入思考、分析與探究.

1 問題呈現

問題已知軌跡E上任意一點M（x，y）與定點F（2，0）的距離和M到定直線l：x=4的距離的比為22.

（1）求軌跡E的方程.

（2）設過點A（0，-1）且斜率為k1的動直線與軌跡E交于C，D兩點，且點B（0，2），直線BC，BD分別交圓x2+（y-1）2=1于異于點B的點P，Q，設直線PQ的斜率為k2，問是否存在實數λ，使得k2=λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

2 問題解答

上述問題的解答如下.

解：（1）易得E的方程為x28+y24=1，過程略.

（2）由題意知，直線CD的方程為y=k1x-1.設C（x1，k1x1-1），

D（x2，k1x2-1）.

將y=k1x-1與x2+2y2-8=0聯立，消去y，得

（1+2k21）x2-4k1x-6=0.

所以，x1+x2=4k11+2k21，x1x2=-61+2k21.

因為B（0，2），所以kBC=k1-3x1，kBD=k1-3x2，于是kBC+kBD=2k1-31x1+1x2=4k1，kBCkBD=k21-3k11x1+1x2+9x1x2=-32.

設直線PQ的方程為y=k2x+m，P（x3，k2x3+m），Q（x4，k2x4+m）.

將y=k2x+m與x2+（y-1）2=1聯立，消去y，得（1+k22）x2+2（m-1）k2x+m（m-2）=0.當Δ>0時，x3+x4=-2（m-1）k21+k22，

x3x4=m（m-2）1+k22.

由B（0，2），可得kBP=k2+m-2x3，kBQ=k2+m-2x4，所以kBP+kBQ=2k2+（m-2）1x3+1x4=2k2m，kBPkBQ=k22+k2（m-2）1x3+1x4+（m-2）2x3x4=m-2m.

因為B，C，P三點共線，B，D，Q三點也共線，所以kBC=kBP，kBD=kBQ.于是4k1=2k2m，且-32=m-2m，解得k2=2mk1，m=45.所以存在λ=2m=85滿足要求.

深入思考分析上面解題過程不難引發如下聯想：一是發現問題得到解決的關鍵是kBC＼5kBD=-32為一個常數，這個常數傳遞給kBP＼5kBQ，由kBP＼5kBQ=-32又得到直線PQ恒過定點0，45;二是追問kBC＼5kBD=-32的原因是直線CD恒過定點（0，-1）；三是思考“橢圓或圓的兩條共點弦斜率之積與這兩條弦的另一端點連線過某一定點之間是否存在必然的聯系？”

3 問題探究

經過初步探究，發現：

已知曲線C的方程為Ax2+By2=1（A≠0，B≠0），T（x0，y0）在曲線C上，直線x=dy+t與曲線C相交于M，N兩點，設kTM＼5kTN=w，若w是常數，則直線MN恒過定點wB+AwB-Ax0，-wB+AwB-Ay0.

證明：因為曲線C：Ax2+By2=1（A≠0，B≠0），且T（x0，y0）在曲線C上，所以Ax20+By20=1.把直線MN的方程x=dy+t與曲線C的方程聯立消去x，得（d2A+B）y2+2dAty+At2-1=0.

設M（dy1+t，y1），N（dy2+t，y2），

則

y1+y2=-2dAtd2A+B，y1y2=At2-1d2A+B，

kTM=y1-y0dy1+（t-x0），kTN=y2-y0dy2+（t-x0）.

所以kTM＼5kTN

=y1-y0dy1+（t-x0）＼5y2-y0dy2+（t-x0）

=y1y2-y0（y1+y2）+y20d2y1y2+d（t-x0）（y1+y2）+（t-x0）2

=A（t2+2dty0+d2y20）+By20-1d2Ax20+B（t-x0）2-d2

=A（t+dy0）2-Ax20d2Ax20+B（t-x0）2-d2

=A（t+dy0+x0）（t+dy0-x0）B（t-x0）2+d2（Ax20-1）

=A（t+dy0+x0）（t+dy0-x0）B（t-x0）2-d2By20

=A（t+dy0+x0）（t+dy0-x0）B（t-x0-dy0）（t-x0+dy0）

=AB＼5t+x0+dy0t-x0-dy0.

由kTM＼5kTN=w，得t=wB+AwB-A（x0+dy0），所以直線MN的方程為x=dy+wB+AwB-A（x0+dy0），即x=y+wB+AwB-Ay0d+wB+AwB-Ax0.根據d的任意性可知，直線MN恒過點wB+AwB-Ax0，-wB+AwB-Ay0.

特別地，可得以下結論：

（1）當曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）時，

直線MN恒過定點wa2+b2wa2-b2x0，-wa2+b2wa2-b2y0.

當TM⊥TN時，則直線AB恒過點a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0），即e22-e2x0，-e22-e2y0.

（2）當曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）時，

直線MN恒過定點wa2-b2wa2+b2x0，-wa2-b2wa2+b2y0.

當TM⊥TN時，則直線AB恒過點a2+b2a2-b2x0，-a2+b2a2-b2y0，即e22-e2x0，-e22-e2y0.

（3）當曲線C：x2+y2=R2時，

直線MN恒過定點w+1w-1x0，-w+1w-1y0.

當TM⊥TN時，則直線AB恒過點（0，0）.

（注：上述e為相應曲線的離心率.）

4 拓廣探索

再進一步深入研究拋物線，發現類似性質：

當曲線C的方程為y2=2px（p＞0），T（x0，y0）在曲線C上，直線x=dy+t與曲線C相交于M，N兩點，設kTM＼5kTN=w，若w是常數，則直線MN恒過定點-2pw+x0，-y0.（證明略.）

特別地：

（1）當TM⊥TN時，時，直線MN恒過定點（2p+x0，-y0）；

（2）當x0=y0=0，且TM⊥TN時，直線MN恒過定點（2p，0）.

事實上，對于“kTM＼5kTN=AB＼5t+x0+dy0t-x0-dy0”，當其中的t，x0，y0再滿足一些特殊條件時，又可以得到一系列的結論，請大家探討！

5 鏈接高考

高考真題（2020年新高考Ⅰ卷＼5山東＼522）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，且過點A（2，1）.

（1）求C的方程；

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.

解：（1）因為離心率為22，所以b2a2=12.又橢圓過點A（2，1），所以4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3.所以橢圓C的方程為x26+y23=1.

（2）證明：根據以上發現的結論（1）可知，直線MN恒過定點T23，-13.如圖1，因為AD⊥MN，所以△ADT是以定線段AT為斜邊，D為直角頂點的直角三角形.因此，線段AT的中點就是所求的點Q，其坐標為43，13，且|DQ|=12|AT|=223.

當下高中數學教學面臨新教材、新課程、新高考所引領的三新環境，單純從學科教與學的角度來看，學習探究應該成為適應新時代下教與學的新常態，特別是像學習圓錐曲線等一類難度較大的內容時，教師更有必要下功夫思考與探究.圓錐曲線的性質十分豐富，可供探究的方面十分廣泛，以上筆者所探討的這些只不過是圓錐曲線性質中的冰山一角，滄海一粟，期盼早日見到新時代同行們更多、更好的教學研究成果，以期同學習、共進步！