解三角形中的最值或范圍問題

李鴻媛

摘要：解三角形的最值或范圍問題是高考考查的熱點內容之一，并且對解三角形的命題設計，不只局限于解三角形，而是通常利用正余弦定理、三角形面積公式等求解三角形的邊、角、周長和面積的最值等問題.這類問題的解法主要是將邊角互化轉化為三角函數的最值問題，或利用基本不等式求最值.本文中對這類問題加以歸類解析，以提升學生的解題能力.

關鍵詞：解三角形；最值；范圍

1 與邊有關的最值或范圍問題

例1在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，角B=π3，若a+c=4，則b的取值范圍為.

解析：由a+c=4，B=π3，由余弦定理得b2=a2+c2－2accos B，則b2=（a+c）2－2ac－2accosπ3，即b2=16－3ac.

由a+c≥2ac，得4≥2ac，即0

評析：本題利用已知條件結合余弦定理，借助基本不等式求三角形邊的取值范圍［1］，滲透了邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

例2在△ABC中，角A，32B，C成等差數列，且△ABC的面積為1+2，則AC邊長的最小值是.

解析：由A，32B，C成等差數列，得A+C=3B.又A+B+C=π，所以B=π4.設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則由S△ABC=12acsin B=1+2，可得ac=22+4.由余弦定理得b2=a2+c2－2accos B，則b2=a2+c2－2ac.又a2+c2≥2ac，則

b2≥（2－2）ac，即b2≥（2－2）（22+4），所以b≥2（當且僅當a=c時，等號成立）.故AC邊長的最小值為2.

評析：本題考查了學生對等差數列的概念、三角形內角和定理、三角形面積公式、余弦定理等的掌握情況.解題的關鍵是將余弦定理與不等式相結合，進而求出三角形一邊的最值.

2 與角有關的最值或范圍問題

例3在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A≠π2，sin C+sin（B－A）=2sin 2A，則角A的取值范圍為.

解法一：在△ABC中，C=π－（A+B），則sin C=sin（A+B），所以sin（A+B）+sin（B－A）=2sin 2A，即2sin Bcos A=22sin Acos A.又A≠π2，則cos A≠0，

所以sin B=2sin A.由正弦定理，得b=2a，則A為銳角.又sin B=2sin A∈（0，1］，于是可得sin A∈0，22，故A∈0，π4.

評析：解法一利用三角形內角和定理、兩角和與差的正弦公式、正弦定理與三角函數的性質等知識，對學生的推理能力、運算能力和直觀想象能力進行了考查.

解法二：在△ABC中，C=π－（A+B），則

sin C=sin（A+B），所以sin（A+B）+sin（B－A）=2sin 2A，即2sin Bcos A=22sin Acos A.又A≠π2，則cos A≠0，所以

sin B=2sin A.由正弦定理，可得b=2a.結合余弦定理，可以得到cos A=b2+c2－a22bc=12b2+c22bc≥212b2＼5c22bc=22，當且僅當c=22b時，等號成立，故A∈0，π4.

評析：解法二考查了三角形內角和定理、兩角和與差的正弦公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式等知識.這種解題方法需要學生靈活運用兩個正數的和與積的關系，充分體現學生的數學運算能力和數據分析能力.

3 與周長有關的最值或范圍問題

例4△ABC為銳角三角形，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知33bsin C+ccos B=a，且c=2，求△ABC周長的最大值.

解析：由33bsin C+ccos B=a，根據正弦定理，得33sin Bsin C+sin Ccos B=sin A.由A=π－（B+C），得sin A=sin（B+C）.所以33sin Bsin C+sin Ccos B=sin（B+C），即33sin Bsin C=sin Bcos C.

由sin B≠0，得33sin C=cos C.

又cos C≠0，所以

tan C=3.

而0

根據正弦定理，得a=433sin A，b=433sin B，則a+b+c=433sin A+433sin B+2=433sin A+433sin2π3－A+2=43332sin A+32cos A+2=4sinA+π6+2.

由△ABC為銳角三角形，可知

0

所以π3

因此32

故23+2<4sinA+π6+2≤6.

因此△ABC周長的最大值為6.

評析：這道題解題的關鍵是利用正弦定理將邊化為角，轉化為求三角函數的最值問題［2］，考查了邏輯推理和數學運算等核心素養.

4 與面積有關的最值或范圍問題

例5△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知2（c－acos B）=3b.

（1）求角A；

（2）若a=2，求△ABC面積的取值范圍.

解法一：（1）略.

（2）由（1）知A=π6，又a=2，根據正弦定理，可得b=4sin B，c=4sin C.

由C=π－A-B=5π6－B，得

sin C=sin5π6－B.

所以，S△ABC=12bcsin A=14bc=4sin Bsin C

=4sin Bsin5π6－B=4sin B12cos B+32sin B=2sin Bcos B+23sin 2B=sin 2B－3cos 2B+3=2sin2B－π3+3.

由0

－32

解法二：（1）略.

（2）由（1）知A=π6，a=2，則S△ABC=14bc.

由cos A=b2+c2－a22bc=b2+c2－42bc=32，可得

b2+c2－4=3bc.又b2+c2≥2bc，則0

故△ABC面積的取值范圍為（0，2+3］.

評析：本題求解三角形面積的取值范圍，解法一通過正弦定理將邊轉化為角，再利用三角函數的性質，求解三角形面積的取值范圍.解法二先利用余弦定理，結合不等式b2+c2≥2bc，求解bc的取值范圍，接著利用三角形面積S△ABC=12bcsin A求出面積的取值范圍［3］.這兩種解法都考查了數學運算、邏輯推理等數學核心素養.

數學這門學科需要學生具備較強的邏輯推理能力、運算能力、直觀想象能力等.

針對解三角形最值或范圍問題，學生需要熟練掌握三角形的面積公式、同角三角函數的基本關系、正弦定理、余弦定理、基本不等式等知識，并能夠進行綜合運用.

參考文獻：

[1]劉海濤.談解三角形中有關求范圍或最值的解題策略[J].數理化學習（高中版），2022（7）：3-7.

[2]張露梅.解三角形中的范圍或最值問題[J].中學生數理化（高二數學），2021（11）：35-36.

[3]玉素貞.解三角形最值問題的兩種轉化策略分析[J].考試周刊，2021（49）：85-86.