RMI視角下高中數學教學的“四化”

姜衛東

關系映射反演法則（簡稱RMI法則）作為數學方法論中的一種重要法則＼，一般可以表述如下：給定一個目標原象x的關系結構S，如果能找到一個映射φ，將S映入或映滿S*，則可從S*通過一定的數學方法把目標映象x*=φ（x）確定出來，進而通過反演φ－1又可以把x=φ－1（x*）確定出來，這樣原來的問題就得到解決.利用RMI法則解決問題的過程可用框圖1表示如下：

RMI法則不僅對數學科學的發展起過推動作用，而且對高中數學教學也有著指導意義.在平時的教學工作中，如能從RMI的視角來審視高中數學教學，定會優化解題教學、深化教材理解、強化大單元整體教學及催化創新思維等，在提高教學效益的同時，進一步提升學生的數學思維能力與學科核心素養.

1 RMI視角下，解題教學的優化

數學解題有各種不同的方法，所有這些方法，其實就是RMI法則在解題中的具體運用，只不過不同的方法對應的映射φ不同而已.特別是在處理一些難度較大的試題時，如能巧妙地利用RMI法則，有時能起到事半功倍的效果.

案例1-1求證：C0nCkm+C1nCk－1m+……+CknC0m=Ckn+m.

解析：本題是一個組合恒等式證明問題.設等式左邊為ck，即證ck=Ckm+n.若采用RMI法則求解，可分以下五步完成.

步驟1：明確原象的關系結構S.若記ai=Cin，

bi=Cim，ci=Cim+n，則ck由

ck=∑ki=0aibk－i（k≤m，k≤n）確定，這就是S.

而要求解的問題x便是ck=？

步驟2：選擇映射φ.可用母函數作為映射工具，即φ：ai→A（x）=∑ni=0aixi，bi→B（x）

=∑mi=0bixi，ci→C（x）=∑m+ni=0cixi.

步驟3：確定映象關系結構S*.由原象關系及多項式乘法規則，可得A（x）B（x）=∑m+nk=0（∑ki=0aibk－i）xk=∑m+nk=0ckxk=C（x），所以S*的關系結構是A（x）B（x）=C（x），而要求解的問題x對應的映象x*便是C（x）=？

步驟4：確定映象C（x）.根據二項式定理，可得C（x）=A（x）B（x）=（∑ni=0aixi）

（∑mi=0bixi）=（1+x）n＼5（1+x）m=（1+x）m+n.

步驟5：作反演φ－1.φ－1就是尋求（1+x）m+n展開式中xk前的系數ck，顯然可得ck=Ckm+n.

由上可知，利用RMI法則解題的關鍵在于選擇適當的映射工具φ及反演工具φ－1，將需求解問題x與其映象x*進行轉換.因此，在后續的論述中，筆者將注重對φ及φ－1的分析，而不嚴格按照上面的五個步驟進行.

案例1-2〔2021年全國高中數學聯賽（福建賽區）預賽題〕如圖2，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為23，A1，A2分別為橢圓C的左、右頂點，B為橢圓的上頂點，F1為橢圓C的左焦點，且△A1F1B的面積為52.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過點D（1，0）的動直線l交橢圓C于E，F兩點（點E在x軸上方），M，N分別為直線A1E，A2F與y軸的交點，求|OM||ON|的值.

解析：（1）x29+y25=1.（2）這是一個動態情況下求定值（比值）的問題，可以先通過特殊位置（EF與x軸垂直）得到比值，然后再驗證結論在一般情形下的正確性.整個解題過程的運算量不小，而且需要解題者具有非常強的目標意識！但是，如果通過RMI法則來解決，就能避開繁雜的計算，只需要利用平面幾何的知識就能完成.

如圖3，設映射φ：x=3x′，y=5y′，則橢圓C變換為單位圓O′：x′2+y′2=1，D′13，0，A1′（－1，0），A2′（1，0），直線l與⊙O′的交點變為E′，F′，直線A1′E′及A2′F′分別與y′軸交于點M′，N′.由于伸壓變換保持比值不變，因此即求|O′M′||O′N′|的值.

連接A2′E′，A1′F′，則可根據Rt△A1′O′M′∽Rt△A1′E′A2′，得O′M′1=A2′E′A1′E′（記為①式），同理根據Rt△A2′O′N′∽Rt△A2′F′A1′，得O′N′1=A1′F′A2′F′（記為②式）.由①÷②得O′M′O′N′=A2′E′A1′F′·A2′F′A1′E′（記為③式）.又由△A1′D′F′∽△E′D′A2′，得A2′E′A1′F′=D′A2′D′F′=23D′F′（記為④式）.

同理，根據△A1′D′E′∽△F′D′A2′，得A2′F′A1′E′=D′F′A1′D′=3D′F′4（記為⑤式）.由④×⑤，可得A2′E′A1′F′·A2F′A1′E′=12，代入③式得|O′M′||O′N′|=12.從而|OM||ON|=12.

上述解法就是RMI法則的具體運用，它的解題過程可用框圖4表示如下.

需要指出的是，在解決同一個問題時，選擇不同的映射φ，就會出現不同的解法.因此，要得到問題的簡解，應根據不同的問題背景，靈活選擇φ.

2 RMI視角下，教材理解的深化

盡管在高中數學教材中并未明確地提及RMI法則，但是它的方法與內容一直以不同的水準被隱含在數學教材及教學活動中，教師只有經過分析觀察，才能把它抽象出來，進而更加有效地組織教學.

案例2-1指數函數與對數函數.

在蘇教版必修一教材中，對數函數的知識是安排在指數函數之后的，在學完指數函數的概念、圖象及性質以后，如何組織對數函數的學習，實際上體現了教師對教材編寫意圖的理解.

筆者以為，教材將這兩類函數放在一起學習，正是關注了它們之間的緊密聯系，其本質就是RMI法則的體現！這里S可看成是對數函數的結構體系，是待研究的內容.引入映射φ：求反函數，在φ的作用下，對數函數就映射成指數函數，而指數函數的知識結構S*（圖象及性質等）已經研究清楚了，所以只需根據φ－1：求反函數，反演回去，就可以得到對數函數的圖象及性質等（即S）.當然，這里φ與φ－1也可以從形上來構造，那就是作關于y=x對稱的圖象，它們的關系可以用下面的框圖5表示.

由上可知，指數函數與對數函數是彼此依存的統一體，了解這一點，對于課堂教學的組織以及知識的建構都大有裨益！

案例2-2數學建模.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出了數學學科六大核心素養以及貫穿高中數學課程的四條主線［2］，數學建模是其中之一，而且在每冊教材中，都有數學建模的專題.毋庸諱言，在教學實踐中，數學建模教學的開展并不盡如人意，其中的原因固然是多方面的，但教師自身的觀念與數學建模能力是制約當下數學建模教學的關鍵因素.

而要提升教師的數學建模素養，建立關于數學建模的正確觀念，就必須從RMI法則的視角來了解數學建模，這里S是指現實問題，φ就是通過化簡、假設等方法進行抽象，S*就是抽象出來的數學模型，反演工具φ－1就是將數學模型的解進行解釋或翻譯，從而解決現實問題.

因此，數學建模不是有些人所認為的就是解應用題，它遠比解應用題復雜得多.究其本質而言，數學建模實際上就是RMI法則中一種重要的類型——概念映射法（抽象分析法），它的過程可用框圖6表示如下：

3 RMI視角下，大單元整體教學的強化

在新課改的大背景下，高中數學教學的根本任務是培養學生的數學思維能力與學科核心素養.因此，在平時的教學中，必須著眼于幫助學生建立起完整的、系統化的知識體系，促進學生對數學知識的整體化認知，避免所學知識碎片化與零散化.所以，教師需在仔細分析新課標、新教材、教學重難點及教學方法等教學要素的基礎上，深刻把握單元知識，抓住內容主線，厘清知識的關聯，積極開展大單元整體教學，從而有效促進學生的深度學習及高階思維能力的發展.筆者以為RMI法則是實施大單元整體教學的一種重要手段，它可以強化這種教學方式的落實與實施.

案例3-1解析幾何的大單元教學.

蘇教版選擇性必修一中第1章、第2章及第3章（直線、圓、圓錐曲線與方程）構成了解析幾何的一個大單元，完全可以實施大單元整體教學，它們的RMI法則幾乎是一致的.這里原象關系結構S就是曲線及其性質，建系后，映射φ：點→坐標，曲線→方程，映象關系結構S*：方程及其關系，φ－1：坐標→點，方程→曲線，從而由方程（組）的解的情況，反演推出曲線的幾何性質及位置關系.通過RMI法則，學生不僅能清晰地理解處理曲線與方程的解析法思想，而且能了解處理直線、圓及圓錐曲線問題的一致性，以利于學生對解析幾何的整體把握.

案例3-2平面向量與空間向量的大單元教學.

盡管平面向量與空間向量分屬于蘇教版必修二第9章和選擇性必修二第6章，但是也可以利用RMI法則進行大單元教學.它們的RMI法則基本一致.這里S是指（平面或空間）向量及其關系、運算，建系后，映射φ：向量→坐標，這時S*：實數（坐標）運算及其關系，通過φ－1：坐標→向量，反演推出向量的運算及位置關系.以上RMI法則，不僅可以讓學生理解研究（平面或空間）向量的坐標法思想，而且能夠深刻地揭示向量所具有的數與形兩個方面的特征，因而向量是溝通代數、幾何與三角函數的紐帶，為解決平面及空間圖形的位置關系及度量問題提供了十分有效的工具.這無疑對學生整體建構向量知識體系，領會知識本質是有益的！

實際上，對于案例3-1及3-2，我們還可以在更大范疇下進行整體教學.無論是曲線還是向量，它們都是數學中要研究的對象，要研究的都是數學對象及其關系、性質等，采用的映射工具，都是建系后得到它們的坐標或方程，所以案例3-1與3-2，還可以用以下統一的框圖7來表示.

這樣，學生就能從宏觀上更深刻地理解數學是研究數量關系與空間形式的科學、數學所具有的數形特征及研究通法.

4 RMI視角下，創新思維的催化

培養數學創新思維是當今數學教育的重要使命與時代呼喚.盡管大家對培養學生創新思維的重要性與緊迫性已達成共識，但對培養學生創新思維的教學策略還有所欠缺.筆者以為RMI法則是催化學生創新思維的一個重要策略，可以挖掘數學史中數學發現與發明中的RMI法則對學生進行創新思維的培育，也可以通過開展研究性學習的方式，讓學生親歷運用RMI法則進行“再發現”“再創造”的歷程.

案例4解析幾何的發現.

解析幾何是十七世紀前半葉產生的一個嶄新的數學分支，從本質上來看，它的發現過程就是RMI法則的具體應用.坐標法的建立使點與有序實數對之間、曲線與方程之間建立對應關系，從而把研究曲線的幾何問題轉化為研究方程的代數問題，通過對方程的討論來研究曲線的幾何性質，這一過程可用框圖8表示如下.

通過解析幾何發展史的介紹，學生明白數學知識的發現與創造并不是憑空產生的，而是有規律可循的，RMI法則在其中就扮演著重要的角色！數學家可以利用RMI法則創造數學，教師也能夠在平時的教學實踐中，鼓勵學生運用RMI法則體驗“數學發現與創造”的樂趣.

在一次研究性學習中，筆者跟學生介紹了RMI法則后，讓學生嘗試運用RMI法則自主編制習題、提出問題.其中一個學生結合伸壓變換的性質，編制了一道較高質量的試題，其編制過程如下：

在單位圓x′2+y′2=1中（如圖9），它的任一個圓內接正方形P′Q′P1′Q1′的面積都為2，也即kO′P′·

kO′Q′=－1時，直線O′P′，O′Q′與單位圓的四個交點P′，Q′，P1′，Q1′所構成的正方形的面積為2.

于是，想到對上述問題進行映射φ：x′=x2，y′=y3，則在此映射的作用下，單位圓就變為橢圓x24+y23=1（如圖10），則kOP·kOQ=32kO′P′·32kO′Q′=34kO′P′·kO′Q′=－34.

由伸壓變換的性質可知，單位圓中的正方形變為了平行四邊形PQP1Q1，且SPQP1Q1的值保持不變，面積為（2）2×2×3=43.

在教師的引導下，學生對試題進行了包裝：橢圓的標準方程不直接給出，而是由焦點坐標與準線方程來確定.這樣一道完整的橢圓原創題就新鮮出爐了：

已知橢圓的中心在坐標原點，左焦點為F1（－1，0），右準線方程為x=4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）P，Q是橢圓上兩個動點，直線OP，OQ與橢圓的另一交點分別為P1，Q1，且直線OP，OQ的斜率之積等于－34，試探求四邊形PQP1Q1的面積是否為定值？

以上應用RMI法則編題的過程可用框圖11來表示.

通過這次研究性學習，學生都驚詫于自己的表現，他們不僅發現了RMI法則的巨大作用，更體會了“數學發現與創造”的樂趣，實現了從“問題解決者”到“問題發現者”“問題提出者”的轉變.這正是新課標所倡導的理念，也是落實數學核心素養的根本遵循！

參考文獻：

[1]徐利治，朱梧槚，鄭毓信.數學方法論教程[M].南京：江蘇教育出版社，1992：56.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018：98-101.