矩陣若爾當標準型解法的探討與應用

摘要：本文比較了求解矩陣若爾當標準型的四種方法，即初等變換法、行列式因子法、特征向量法和求特征值法的優劣。特別地，利用相似變換求解出了一類2n階矩陣的若爾當標準型。

關鍵詞：矩陣；若爾當標準型；相似變換

一、初等矩陣及相似變換

（一）初等變換

下面三種變換稱之為矩陣的初等變換：（1）非零數k乘以矩陣某一行（列）中的所有元素；（2）把矩陣的某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）對應元素上去；（3）對換矩陣的兩行（列）。

（二）初等矩陣

由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，初等矩陣分為三類：第一類是互換矩陣E的第k行和第j行元素（第k列和第j列元素），記為Pjk；第二類為用數域K中的非零數c乘E的i行（非零數c乘E的i列），記為Pi（c）；第三類是把矩陣E的第k行的γ倍加到第j行（把矩陣E的第j列的γ倍加到第k列），記為Pjk（γ）。研究一般的可逆線性變換可以轉化為研究初等變換。相似變換是一些特殊的初等變換的合成，矩陣在相似變換下保留了原有的一些很好的性質。因此，初等變換、初等矩陣以及相似變換在線性代數研究中起著非常重要的作用。

（三）矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量是線性代數中非常重要的一部分內容，在工程技術中有廣泛的應用。

定義1［1］：一個n級復矩陣A，如果存在數λ和非零n維列向量x使得關系式Ax=λx成立，則稱λ為矩陣A的特征值，向量x為矩陣A對應特征值λ的特征向量，稱det（λE－A）為矩陣A的特征多項式，其中det（λE－A）表示矩陣λE－A的行列式。

（四）矩陣的相似

對于矩陣A，如果存在可逆矩陣P使得P－1AP=B，則稱A與B相似，也稱從矩陣A到矩陣B的相似變換。而可逆矩陣P可寫成一些初等矩陣的乘積，特別地，如果P就是一個初等矩陣，則稱矩陣A到矩陣B的一個初等相似變換。

二、矩陣的若爾當標準型

形式為J（λ，t）=λ0…000

1λ…000

00…1λ0

00…01λ的矩陣稱之為t級若爾當塊（其中λ是復數）。即若爾當塊矩陣對角線上為相同的復數λ，下方（或上方）次對角線上全為1，其余元素全為0。

由若干個若爾當塊組成的準對角矩陣稱之為若爾當標準型，其一般形式為A1

A2

As，其中Ai=λi

1λi

1

λi

1λi，并且λ1，λ2，…，λs中有一些可以相等。

下面我們給出矩陣若爾當標準型的五種方法。首先我們介紹一些相關的定義。對于矩陣A，稱λE－A為A的λ矩陣。

定義2［1］：設λ矩陣A（λ）的秩為r，對于正整數k，1

r，A（λ）的全部k階子式的首一最大公因式Dk（λ）稱為A（λ）的k階行列式因子。令d1（λ）=D1（λ），d2（λ）=D2（λ）D1（λ），…，dn（λ）=Dn（λ）Dn－1（λ），則d1（λ），d2（λ），…dr（λ）稱為λ矩陣A（λ）的不變因子。把矩陣A的每個次數大于零的不變因子分解成互不相同的首項為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪稱為矩陣A的初等因子。下面給出求解矩陣若爾當標準型的方法。

方法一（初等變換法［1］）：

第一步：通過其對應λ矩陣的初等變換求出矩陣A的初等因子；第二步：寫成每個初等因子對應的若爾當塊；第三步：寫出若爾當標準型。

例1.求矩陣A=－1－26

－103

－1－14的若爾當標準型。

解：由于：

λE－A=λ+12－6

1λ－3

11λ－4→100

0λ－10

00（λ－1）2

從而可得矩陣A的初等因子為（λ－1），（λ－1）2。（λ－1）對應的若爾當塊為J（1，1）。（λ－1）2對應的若爾當塊為J（1，2）。因此，A的若爾當標準型為100

011

001。

對于階數較低且數字較小的矩陣可通過該種方式，其λ矩陣可經過有限次初等變換變為對角型矩陣，然后直接寫出初等因子。當矩陣的階數很高或者矩陣很復雜，則該方式的計算量過于復雜，不可取。因此初等變換法適用于較為簡單的矩陣的若爾當標準型的求解。

方法二（行列式因子法［1］）：

第一步：先求出λE－A的n個行列式因子式Dk（λ），1

n；第三步：求出矩陣A的初等因子，以及若爾當標準型。

例2.求矩陣A=1234

0123

0012

0001的若爾當標準型。

解：因為λE－A=λ－1－2－3－4

0λ－1－2－3

00λ－1－2

000λ－1，則D4（λ）=det（λE－A）=（λ－1）4，又因為在λE－A中有三階子式－2－3－4

λ－1－2－3

0λ－1－2=－4λ（λ+1）且D3（λ）整除每個三階子式，且為D3（λ）D4（λ），所以D3（λ）=1，從而D2（λ）=D1（λ）=1，于是得A的不變因子為d1（λ）=d2（λ）=d3（λ）=1，d4（λ）=（λ－1）4，即A只有一個初等因子（λ－1）4，故A的若爾當標準形為11

11

11

1。

該方法實用于比較特殊的矩陣的若爾當標準型的求法，該例題發現了一個三階子式為－4λ（λ+1）而D4（λ）=（λ－1）4，D3（λ）是－4λ（λ+1）的因子，又因為D3（λ）是D4（λ）的因子，從而得出了D3（λ）=1，于是可直接得出結果。但是一般情況下Dn-1（λ）不等于1，這就需要計算D1（λ），D1（λ），…，Dn-1（λ），如果該矩陣階數較高，這一過程非常復雜，亦不可取。

方法三（特征向量法［2］）：

第一步：按重數求出矩陣所有的特征值；第二步：找出每個特征值線性無關的特征向量。

如果λi是矩陣A的單特征值，則對應一階若爾當塊，如果λi是矩陣A的ri（ri>1）重特征值，則對應λi有幾個線性無關的特征向量就有幾個以λi為對角元素的若爾當塊，這些若爾當塊階數之和等于ri。

例3.求矩陣A=31－1

－202

－1－13的若爾當標準型。

解：令|λE－A|=0，解得λ1=λ2=λ3=2，對應的線性無關的特征向量為（－1，1，0）T和（1，0，1）T，故A的若而當標準型為200

021

002。

特征向量法的計算比較簡單，但是當階數較高時對應的若爾當塊階數可能無法確定，因此特征向量法也有一定的局限性，適合處理低階且較為簡單的矩陣。

方法四（求特征值法［3］）：

第一步：求出矩陣的特征值；第二步：求出每一個特征值的幾何重數（代表該特征值對應的若爾當塊的個數）=特征矩陣的列數減去特征矩陣的秩；第三步：求出每一個特征值對應的若爾當塊的最大階數以及塊數。具體過程如下：對于n階矩陣A，若得到rank（λiE－A）=s1，rank（λiE－A）2=s2，rank（λiE－A）3=s3，…，rank（λiE－A）l=sl，rank（λiE－A）l+1=sl，則對于λ=λi的若爾當塊數情況分析如下：共有n－s1個若爾當塊，其中階數最高的為l階。階數大于等于2的若爾當塊有s1－s2個，階數大于等于3的若爾當塊有s2－s3個，階數大于等于4的若爾當塊有s3－s4個，…，階數等于l階的若爾當塊有sl－1－sl個。

例4.求矩陣A=2－11－1

22－1－1

12－12

0003的若爾當標準型。

解：令|λE－A|=0，解得λ1=λ2=λ3=1，λ4=3，對于特征值為1的若爾當塊有如下分析：rank（E－A）=3，rank（E－A）2=2，rank（E－A）3=1，rank（E－A）4=1，從而特征值為1的若爾當塊僅有一塊，且最高階數為3，且階數大于等于2的若爾當塊僅有一塊，階數等于3的若爾當塊也僅有一塊。由于A是4階矩陣，從而可得A的若爾當標準型為11

11

1

3。

該方法適合求低階及高階矩陣的若爾當標準型，但當遇到n階矩陣時，求解其特征值過程可能會非常復雜，因此該方法在某種程度上也存在一定的局限性。

本文最后，我們將給出求解冪零矩陣若爾當標準型的一種特有的方法。

總結：理論上，方法一對于任意的有限階矩陣都可用，但是對于高階矩陣，求初等因子的過程就比較復雜。方法二適用于比較特殊的矩陣，如易求得Dn-1（λ）=1，此時只需求出該λ矩陣的行列式就可得到不變因子，對于一般的矩陣，如果Dn-1（λ）不等于1，此時方法二的計算量會很大，特別對于高階矩陣。方法三在處理高階若爾當塊的時候特征向量的計算量較大，因此一般不可取。方法四從計算過程的角度可以解決一般的矩陣，也可用來處理高階矩陣，但是當矩陣的階數不確定時，矩陣的特征值不一定可以確定。以上幾種方式都適合處理低階矩陣或者有限階矩陣的若爾當標準型，一般情況下求解n階若爾當標準型比較困難。但是如果該矩陣比較特殊，則我們可以先嘗試能否通過初等相似變換把該矩陣簡單化。

本文最后，我們給出了一類2n階矩陣的若爾當標準型的求解過程。

例5.令：

n－1的若爾當標準型，其中an－l=0，當j≠n－l時，aj≠0，bl=0，當j≠l時，bj≠0，并且有

bl+1bl+2…bn－1bn+a1a2…an－l－1an=0。

分析：Al為2n×2n階分塊矩陣，n是一個不確定的正整數。當n=2或者n=3時Al分別為4階和6階矩陣，其若爾當標準型可以通過以上幾種方法求解，當n4時通過以上方法計算比較復雜。但是通過觀察Al的結構，我們首先把分塊Xl和Zl中的an和bn去掉，于是對Al作初等相似變換，目的就是把Al化簡。

結論

計算高階或者階數不確定的矩陣的若爾當標準型時，如果用以上幾種方法操作起來比較復雜，則可以考慮把該矩陣先通過初等相似變換轉換成比較簡單的矩陣再利用以上方法求解。

參考文獻：

［1］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數［M］.王萼芳，石生明，修訂.北京：高等教育出版社，2003.

［2］徐仲，張凱院，陸全，等.矩陣論簡明教程［M］.第二版.科學出版社，2010.

［3］史榮昌，魏豐.矩陣分析［M］.北京理工大學出版社，2010.

作者簡介：孫華（1989—），男，漢族，重慶人，博士，講師，研究方向：代數學。