基于條件平差的變形監測控制網數據處理及分析

曹元志 黃長軍

摘要：在某幾何模型中，總的實際觀測次數為n，必要觀測次數t，則多余觀測次數r=n－t，那么可列立r=n－t個獨立條件方程，這種以條件方程為函數模型的平差方法，稱為條件平差法。在變形監測控制網數據處理中，通常可以采用條件平差法對網中的觀測數據進行平差和點位精度分析，求出最弱點中誤差、最弱邊中誤差、繪制誤差橢圓。其中處理的關鍵是條件方程式的列立、非線性條件方程式線性化、誤差方程式的求解及未知點精度評定。本文以在益陽市資江三橋布設的橋梁控制網為例，推導了全部的橋梁控制網解算過程，并得出了結論。

關鍵詞：條件平差；法方程；測量平差；線性方程組

DataProcessingandAnalysisofDeformationMonitoring

andControlNetworkBasedonConditionAdjustment

CaoYuanzhiHuangChangjun

HunanCityUniversityInstituteofMunicipalandMappingEngineeringHunanYiyang413000

Abstract：Inacertaingeometricmodel，thetotalactualnumberofobservationsisn，andthenecessarynumberofobservationsist，sothenumberofobservationsrisredundant.Thenanindependentconditionalequationr=ntcanbelisted.Thisadjustmentmethodbasedonconditionalequationasafunctionmodeliscalledconditionaladjustmentmethod.Inthedataprocessingofdeformationmonitoringandcontrolnetwork，itisusuallypossibletousetheconditionadjustmentmethodtoanalyzetheadjustmentandpointpositionaccuracyoftheobserveddatainthenetwork，tofindouttheerroroftheweakestpoint，theerroroftheweakestedge，anddrawtheerrorellipse.Thekeytodealwiththeseproblemsaretheformulationofconditionalequations，linearizationofnonlinearconditionalequations，solvingoferrorequationsandevaluatingtheaccuracyofunknownpoints.TakingthebridgecontrolnetworkinZijiangBridgeNo.3ofYiyangCityasanexample，thispaperdeducesalltheprocessofsolvingthebridgecontrolnetworkanddrawsaconclusion.

Keywords：Adjustmentofconditions；Normalequation；Adjustmentofmeasurement；Systemoflinearequations

在現代橋梁控制網布設中，通常布設成GPS網或邊角網［1］。布設為GPS網的優點是不受地形和通視條件的限制，布設為邊角網的優點是既觀測角度又觀測距離，精度相對較高［2］。本課題結合邊角網的布設優點對益陽市資江三橋進行控制測量。2021年以來，益陽市資江三橋由于車流量較大，投入使用時間較長，在運營過程中出現了橋墩傾斜下沉、橋面平整度發生變化的情況。為了了解資江三橋的真實變形速率及沉降規律，筆者布置了一測角測距的邊角控制網。所用儀器為徠卡TC702型全站儀，測角中誤差為±2″，測距精度為1mm+2ppm×D（公里）。如圖1所示，A，B，C是已知點，P1，P2為待定點，網中觀測了12個角度，2條邊長（在條件平差中，不用觀測邊長；在間接平差中，用16，17作為觀測邊長），觀測4個測回。控制網圖見圖1。

圖1控制網圖

已知點的坐標數據如下：

1條件平差解算

1.1條件方程的列立

觀測值n=12，必要觀測t=4，多余觀測r=8，可知要列8個條件方程，如下：

圖形條件：

V1+V2+V3+W1=0V4+V5+V6+W2=0

V7+V8+V9+W3=0V10+V11+V12+W4=0

圓周條件：

V1+V5+V8+V11+W5=0

已知方位角條件：

V2+V4+W6=0

極條件（已線性化）：

cotL12V12+cotL5V5+cotL9V9-cotL10V10-cotL6V6-cotL2V2-cotL7V7+ρ×1-sinL2sinL6sinL7sinL10sinL3sinL5sinL9sinL12=0

已知邊條件：

cotL1V1+cotL6V6-cotL3V3-cotL5V5+ρ×1-sinL3sinL5sinL1sinL6=0

其中：

W1=L1+L2+L3-180°W2=L4+L5+L6-180°

W3=L7+L8+L9-180°W4=L10+L11+L12-180°

W5=L1+L8+L11+L5-360°W6=L2+L4-（BA-BC）

代入數據，得：

V1+V2+V3-2.8=0V4+V5+V6+1.2=0

V7+V8+V9-0.9=0V10+V11+V12-3.8=0

V1+V5+V8+V11-1.2=0V2+V4+1.1=0

0.1V1-0.62V3+0.73V5+2.62V6-1.92=0

-1.29V2+0.62V3+1.54V4-2.62V6-0.28V7+1.86V9-0.69V10+0.77V12=0

得到基礎方程系數陣：

Naa300011-0.6-0.5030011-1.13.30030102.100003100.1011114000.81100020.20-0.7-1.12.10.0800.215.8-7.2-0.53.4000.80-7.27.7

由法方程式可以解出：

2條件平差精度評定

未知點坐標的函數關系式為：

XP1=cos（AB+L＾3）+XAYP1=sin（AB+L＾3）+YA

XP2=cos（360°-P2P1+L＾9）+XAYP2=sin（360°-P2P1+L＾9）+YA

對其進行全微分，得其系數陣：

表8平差值函數全微分系數陣

L1L2L3L4L5L6L7L8L9L10L11L12X（P1）00-0.95000000000Y（P1）000.31000000000X（P2）00000000-0.56000Y（P2）000000000.83000

按照協因數傳播律，未知點坐標的協因數為：

Qσ＾σ＾=fTQf-（AQf）TN-1aaAQf

得平差值函數的協因數陣：

根據點位誤差橢圓公式，可以得到P1，P2點的誤差橢圓參數：

結語

通過條件平差條件對益陽市紫江三橋控制網進行數據處理和精度評定，可以看出條件平差和間接平差的不同點。條件平差和間接平差都是具有無窮多組解的相容方程組［7］。條件平差與間接平差都是在最小二乘準則的約束下求得最優解［8］。對于同一平差問題，無論采用何種平差方法，所得到的平差結果和精度（包括點位中誤差，點位誤差橢圓）都是相同的。條件平差與間接平差是整個測量平差的基礎，其他諸多平差方法都是在這兩種平差方法的基礎上發展起來的。對于任一問題，既可采用條件平差又可采用間接平差進行計算，不同平差方法所產生的條件系數陣A與間接平差系數陣B的積為0，即A*B=0。

參考文獻：

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［2］王曉光，謝振紅.導線間接平差法［J］.吉林建筑工程學院學報，2007（01）：5862.

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［4］武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎［M］.出版地：武漢大學出版社，2003.

［5］王新洲.論經典測量平差模型的內在聯系［J］.測繪通報，2004（02）：14.

［6］周世健，臧德彥，魯鐵定.測量平差中各種模型的等價轉換關系［J］.測繪學院學報，2001（01）：13+7.

［7］袁澤喜.導線平差方法的應用與分析［J］.西部探礦工程，2005（09）.

［8］梁永成，曲建光.相對點位中誤差及其在工程測量中的作用［J］.測繪工程，1995（04）：4854.

基金項目：湖南省自然科學基金聯合基金項目（2022JJ50261）；湖南省自然科學基金面上項目（2021JJ30076）

作者簡介：曹元志（1977—），男，漢族，河南信陽人，碩士，副教授，注冊測繪師，主要從事工程測量及數據處理的教學和科研。