一道經典高考試題的深度思考與拓展

沈文炳，毛新文，朱呈記

1.湖北省鄂南高級中學，湖北 咸寧 437100

2.崇陽縣香山外國語學校，湖北 咸寧 437500

3.通山縣實驗高級中學，湖北 咸寧 437600

高考壓軸試題對學生的思維能力要求高。如何突破壓軸試題的思維難點，提升學生解決問題的思維能力層次，是高三備考的關鍵。本文以一道經典的高考試題——2018 年江蘇卷物理第22題為例，借助GeoGebra 軟件，對試題進行拓展和延伸，直觀呈現物體運動過程和狀態細節，使學生思維從關聯結構向拓展抽象結構能力層次發展。

1 試題呈現

例1如圖1 所示，釘子A，B 相距5l，處于同一高度。細線的一端系有質量為M 的小物塊，另一端繞過A 固定于B。質量為m 的小球固定在細線上C 點，B，C 間的線長為3l。用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC 與水平方向的夾角為53°。松手后，小球運動到與A，B 相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動。忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：

圖1 試題原圖

（1）小球受到手的拉力大小F；

（2）物塊和小球的質量之比M：m；

（3）小球向下運動到最低點時，物塊所受的拉力大小T。

評析：問題（1）的思維能力層次要求為多點結構。學生需要正確分析小球的受力，并利用力的合成和分解的知識建立方程，求解拉力大小。問題（2）為弱關聯結構。學生需要從運動的角度理解小球和物塊的速度均為先增大后減小。當小球處于高度AB 時，小球和物塊的速度均為零。學生還需要從做功的角度判斷系統在運動過程中機械能守恒，并根據能量守恒定律列出相應的方程。問題（3）屬于強關聯結構。學生需要知道小球運動到最低點時，小球和物塊的速度為零，兩細繩垂直，夾角為90°。物塊的加速度和小球的切向加速度大小相等，小球的向心加速度為零。學生需要利用牛頓第二定律分別對小球和物塊列出方程并求解［1］。

解析（1）由于BC=3l，AB=5l，故AC=4l，∠ACB=90°。小球和小物塊均平衡，繩子AC 拉力大小為Mg，繩子BC 拉力為F1。對小球分析，把重力分解到兩繩方向，有F1=（mg+F）sin53°，Mg=（mg+F）cos53°，解得（2）小球運動到與AB 等高過程，由機械能守恒定律，有mg×3lsin53°=Mg（4l+3l-5l），解得（3）由機械能守恒定律可知，小球回到C 點速度為零。此時切向加速度為a，由牛頓第二定律有Mg-T=Ma，T-mgcos53°=ma，得

2 運動分析

小球和物塊在運動過程中的最大動能分別是多少？ 它們的動能是否同時達到最大呢？

利用速度關聯確定物塊與小球的速度關系，利用余弦定理和正弦定理確定物塊和小球的位置關系，通過能量守恒定律求解物塊和小球的動能和角度的關系，并用GeoGebra 軟件作出小球和物塊的動能和角度的圖像，直觀地呈現出關聯物體的運動特點。確定兩物體不是同時達到動能的最大值，由此打破學生的思維定式，培養學生的思維能力［2］。

2.1 小球動能與角度的關系

為了簡單，設m=2 kg，M=2.4 kg，g=10 m／s2。當∠ABC=θ 時，小球速度為v1，v1與繩AC 的夾角為α，物塊速度為v2，繩AC 長度為x，如圖2 所示。由余弦定理可知，x=

圖2 小球和物塊的速度關系圖

小球和物塊在運動過程中機械能守恒

代入上述相關關系及數據，可以得到

利用GeoGebra 軟件，作小球動能和角度的關系圖像（圖3）。可知，當角度θ=0.26 rad，即θ=14.9°時，小球動能達到最大值6.96 J。當角度0.26 rad≤θ≤0.92 rad，即14.9°≤θ≤53°時，隨著角度變小，小球動能越來越大。當角度0 rad≤θ≤0.26 rad，即0°≤θ≤14.9°時，隨著角度變小，小球動能越來越小。

圖3 小球動能和角度的關系圖

2.2 物塊動能與角度的關系

由上述關系可以同時求出物塊動能和角度的關系

利用GeoGebra 軟件，作物塊動能和角度的關系圖像（圖4）。當角度θ＝0.5 rad，即θ=28.66°時，物塊動能達到最大值4.87 J。

圖4 物塊動能和角度的關系圖

對比圖3 和圖4，小球從最低點釋放后向上運動過程中，小球和物塊不會同時達到最大動能。物塊先達到最大動能，然后小球達到最大動能。

3 平衡分析

改變試題條件，對試題進行變化，有利于我們從不同角度理解物理模型，豐富物理模型的情境，增強學生解決實際問題的能力，提升學生思維的靈活性和開放性。

如圖5（1）所示，保持小球質量m 不變，改變物塊質量M，使系統平衡。設繩AB 長度為l，繩BC 長度為l1、與豎直方向的夾角為α，繩AC 長度為x、與豎直方向的夾角為β。分析繩BC 的拉力F、物塊質量M 分別與夾角α 的關系。

小球受力分析圖如圖5（2）所示。力的平衡三角形中，由正弦定理得幾何三角形中，由正弦定理得，由余弦定理得x2=l2+l21-2ll1sinα。

圖5 小球平衡及受力圖

從上述三個方程可以解得

為理解方便，設m=0.1 kg，l1=0.5l，g=10 m／s2，0≤α≤90°。利用GeoGebra 軟件，作M－α 圖像和F－α 圖像如圖6 和圖7 所示。

圖6 M－α 圖像

圖7 F－α 圖像

由圖6 可以看出，隨著角度α 的增加，物塊質量M 先增加緩慢，然后增加很快。

由圖7 可以看出，隨著角度α 的增加，繩BC的拉力先減小然后增加。由可以得出，當sinα=時，繩BC 的拉力F 取極小值，此時AC 垂直BC。