“預—解—探—結—悟”:數學習題教學新探索
——從一道習題的教學實踐談課堂提質增效的策略

鄒守文

(南陵縣城東實驗學校,安徽 南陵 241300)

2021年7月印發的《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》強調,要優化教學方式,強化教學管理,提升學生在校的學習效率.因此,必須重視課堂教學,加強課堂教學管理,提高課堂教學效益.在“初中生數學核心素養差異性培養的研究”省級課題的研究中,筆者提出了“五步教學法”[1],有效提升學生的數學核心素養,能呼應“雙減”背景下的教學新常態,實現提質增效.

課堂作為教學的主陣地,習題教學作為課堂教學的重要環節,在教學中除了要發揮習題的復習鞏固、提煉變式、廣泛應用等功能外,還承載了提升學生數學核心素養的功能.故應加強習題教學的研究,提高習題的教學價值.在平時的教學中要選擇恰當的素材,對相關知識適度整合,在發展基礎知識的同時兼顧發展能力,在注重數學活動的同時兼顧數學素養的提升.

在中考第一輪復習時,筆者選擇了人教版《義務教育教科書·數學》(以下統稱“初中《數學》”)(八年級下冊)第69頁第14題,通過課堂“五步教學法”的實施,讓學生經歷“預—解—探—結—悟”的全過程,在知識的發現、求解、變式、總結、感悟等一系列教學活動中,提高發現、提出、分析、思考和解決問題的能力,為課堂教學的提質增效提供有效保證.

例1如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線于點F,求證:AE=EF.

圖1

分析作為一道復習題,此題旨在鞏固正方形的性質和全等三角形判定的相關知識,要求利用全等三角形的性質去證明兩條線段相等.此題隱含了許多幾何性質,能夠鏈接相關知識,如全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數、線段的和差關系、線段的最值和四點共圓等.筆者選擇此題旨在發展學生的推理能力、運算能力、幾何直觀等核心素養,同時引導復習課回歸教材,整合、改編教材內容,拓展教材的應用價值,發掘知識的生長點.

1 預——通過預設的問題,激發學生自主學習的動機

《禮記·中庸》指出,凡事預則立,不預則廢.教師在全面了解學生的認知規律、知識掌握情況,深入分析教材和學生“最近發展區”的前提下,從《義務教育數學課程標準(2022年版)》出發對教學內容進行分層預設,讓學生對所學內容進行預習,并嘗試解決預設的問題.“預”要求教師課前收集有效的信息,并對信息進行分析和處理.

在教學前一天,教師布置作業,要求學生完成初中《數學》(八年級下冊)第69頁第14題,并要求學生結合已學知識,采用不同的方法去證明問題,同時希望學生能夠根據所學知識,結合已知圖形,提出不同的問題.第二天,教師對學生的預習情況進行梳理,發現了學生的4種思路.

思路1如圖2,取邊AB的中點G,聯結EG,可得△AGE≌△ECF,從而AE=EF.

圖2

思路2如圖3,過點E作EH⊥BC,且EH=CE,過點H作HM⊥AB于點M,則四邊形BEHM是正方形,可得△AHE≌△FCE,從而AE=EF.

思路3如圖4,過點F作FN⊥BC于點N,由思路2知∠1=∠2,可得△ABE≌△ENF,從而AE=EF.

圖4

思路4如圖5,聯結AC,AF,可得∠ACF=∠AEF=90°,從而點A,E,C,F共圓,于是∠AFE和∠ACE為同弧所對的圓周角,∠AFE=∠ACE=45°,因此,△AEF為等腰直角三角形,故AE=EF.

由于學生對知識理解的程度不同,獲得的體驗也不同,從而思路也不同,但這些思路的獲得恰好體現了學生對知識掌握的差別.

2 解——在問題的求解過程中,培養學生主動學習的能力

教師將“預”中的問題歸類整理后,在課堂教學中,對預習過程出現的問題分層精講.在“解”的環節中堅持以學生為主體,教師起引導、連接和點評的作用.在分析和點評的過程中關注學生的行為,重視師生互動、生生互動,立足學生回答問題中的“學情”,通過“解”和點評的過程引領學生差異性素養的發展.

在教學中,教師把例1的中點改為任意點,繼續探究題目中AE與EF的數量關系.通過幾何畫板軟件的演示,發現仍有AE=EF,如何去證明呢?

變式1四邊形ABCD是正方形,E是邊BC上的任意一點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線于點F,求證:AE=EF.

教師引導學生探究.5分鐘后,學生分組匯報證明思路,得到和例1類似的5種思路.

思路1如圖6,在邊AB上截取BG=BE,得到△AGE≌△ECF,從而AE=EF.

圖6

思路2如圖7,過點E作EH⊥BC,且EH=EC,得到△AHE≌△FCE,從而AE=EF.

圖8

思路4如圖9,延長FE,AB相交于點K,過點F作FM⊥BC于點M,利用射影定理可以轉化為思路3.

思路5如圖10,聯結AC,AF,有∠ACF=∠AEF=90°,從而點A,E,C,F共圓,于是∠AFE和∠ACE為同弧所對的圓周角,∠AFE=∠ACE=45°,因此,△AEF為等腰直角三角形,故AE=EF.

圖10

3 探——在知識的探究過程中,激發學生思維的活力

在師生共同努力下,將精講的內容進行“變式”“拓展”,通過變式、拓展、升華等手段,強化對知識的理解與掌握,固化知識的變式功能.變式拓展的方法可以是一般化與特殊化的轉化、數字與字母的替換、已知與結論的互換、條件的增減、圖形的幾何變換等.在“變—探”的過程中,使不同學生的數學核心素養得到不同的發展.改變問題的題設和結論,進行深度探究,弄清問題的相互關系和本質特征.

3.1 變線段垂直為線段相等,探究垂直關系

把例1中的條件“∠AEF=90°”改為“AE=EF”,把求證“AE=EF”,改為求證“∠AEF=90°”,同時就一般情形進行探究,研究證明思路.

變式2如圖11,點E為正方形ABCD的邊BC上一點,聯結AE,過點E作EF使EF=AE交正方形的外角平分線于點F,求證:∠AEF=90°.

圖11

分析此時沒有垂直的條件,故很難構造相似三角形或銳角三角函數,直接的思路是利用勾股定理去建立方程,通過解方程透析其中的數量關系.

證明過點F作FM⊥BC于點M,設AB=a,BE=x,FM=CM=y,則

AE2=a2+x2,EF2=EM2+FM2,

從而

a2+x2=(a-x+y)2+y2,

解得y=x.進一步得到

△ABE≌△EMF,

從而

∠AEF=90°,

即

AE⊥EF.

3.2 把垂直和相等兩個條件合并,證明點F在外角平分線上

變式3點E為正方形ABCD的邊BC上任意一點,把AE繞點E順時針旋轉90°到EF,求證:點F在正方形外角平分線上.

思路1如圖12,在AB上截取BG=BE.

圖12

思路2如圖13,過點F作FM⊥BC于點M.

3.3 聯結AF交CD于點G,探究點G在CD上的位置關系

變式4如圖14,點E為正方形ABCD的邊BC上的一點,聯結AE,過點E作∠AEF=90°,交正方形的外角平分線于點F,聯結AF交CD于點G,設BE=kBC.

圖14

3.4 聯結DE,設DE中點為Q,求PQ的最小值

變式5如圖15,四邊形ABCD是正方形,AB=4,點E是邊BC上一點,將線段AE繞點E順時針旋轉90°,得到線段EP,點Q是DE的中點,聯結PQ,求PQ的最小值.

圖15

4 結——通過總結,強化學生歸納反思的意識

教師采取學生自評、學生互評、教師點評等方式,引導學生談談收獲,不是簡單地羅列知識點,而是繼續發揮學生的學習主動性.在自評與互評的過程中,讓學生感受該課時的學習現狀,找出這節課學習的得與失,還有哪些困惑和不足.這種方式不僅提醒學生在課堂學習中要注重學習過程,更重要的是讓學生“思考”學習過程.

通過對這節課和已學相關內容的小結,獲得以下結論:

四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上任意一點.

1)若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線于點F,則AE=EF.

2)聯結AE,作EF,使EF=AE交正方形外角平分線于點F,則∠AEF=90°.

3)把AE繞點A順時針旋轉90°到EF,則點F在正方形的外角平分線上.

結合前面學習的知識,思考還能得出哪些結論?

如圖16,點E為正方形ABCD的邊BC上任意一點,聯結AE,過點E作EF⊥AE交正方形外角平分線于點F,

圖16

5)∠FAE=45°,△AEF是等腰直角三角形.

6)設AF交CD于點G,聯結EG,則DG+BE=EG.

7)設AF交CD于點G,聯結EG,則EF平分∠CEG.

8)如圖17,聯結BD分別交AE,AF于點M,N,則:

圖17

①BM2+DN2=MN2,線段BM,MN,DN可以作為直角三角形的3條邊;

②△ABN∽△MDA,BN·DM=AB2.

9)在7)的條件下,點A,E,C,F共圓.

5 悟——通過感悟深化對知識的理解,提升學習能力

通過對學習的再反思,形成對知識更深層的理解,提升對知識理解的再升華.在此基礎上,對學生這節課的課堂內容做具體要求,即布置課后任務,既能檢測這節課的學習效果,又為下節課的教學做一定的鋪墊.

在這節課的最后,教師要求學生將所學習的知識在大腦中“過一遍”,看一看有哪些知識已經掌握、哪些知識是自己沒有想到的、這節課有哪些體會?這節課是對教材的“回爐”,其中涉及的是一個基本的圖形.學生在前面的學習中已經多次接觸這個圖形.接下來教師要求學生結合此次教學,看看這個圖形中還蘊含了哪些性質,把自己的感悟寫下來,并由教師點評.

通過學生的反思和感悟,又有以下收獲:

4)如圖18,在變式1的條件下,聯結BD,交AE,AF于點G,H,則:

圖18

6)點E在邊BC的延長線上時,其他條件不變,AE=EF仍然成立.

習題是教材編寫者精心設計的.教師對習題的教學不能一蹴而就,因此,要尊重學生的認知規律和知識結構,科學設計、有效推進、螺旋式上升,讓學生親歷習題教學的整個過程.要以習題為“腳手架”,引領學生自主探索,培養學習興趣,激發學習熱情,提升核心素養和學習潛能.

例1的圖形是一個基本圖形.在“預”的階段,教師把問題拋給學生,對例1進行“回爐”.學生已經學習了一些新的知識,包括相似三角形的判定和性質、銳角三角函數的求法、四點共圓等.因此,以例1為知識的生長點,希望能碰撞出思維的火花.在對“預”的梳理過程中發現了學生思維的多樣性,也為后面環節的展開奠定了基礎.

由于中點的特殊性,自然想到“當點E為線段BC上的任意一點,AE=EF是否成立”.通過幾何畫板軟件的演示,發現結論仍然成立.接下來就是尋求相等關系的證明,讓學生結合自己的獨立思考和小組合作探究,碰撞出5種思路,很好地體現了“解”的環節的作用——培養學生主動學習的能力.

命題和逆命題是幾何研究的常用方法,改變變式1的題設和結論可以得到兩個不同的命題,它們是否成立呢?借助幾何畫板軟件的演示功能,發現在相等條件下,直線的垂直關系仍然成立;再將垂直和相等作為條件,變換問題的表述形式,以旋轉的方式將兩個條件整合起來,探究點F是否在正方形的外角平分線上,逐步深入,把“預”和“解”兩個環節無縫對接,過渡到“探”的環節,這樣培養了學生自主學習的能力.但課堂并沒有就此結束,而是乘勝追擊,通過聯結AF交CD于點G,探究點G在CD上的位置關系.這樣把課堂引向深度學習,接著“聯結DE,設DE中點為點Q,求PQ的最小值”.這樣對變式1進行變式,提升例1的價值,從而使學生的知識內化為能力,能力固化為素養.

“結”的環節是對知識的小結,本節課的小結有正在獲取的知識,也有對前面所學知識的回顧和總結,實際上是對圖形性質的系統總結,是一個提高的過程,是數學學習過程中非常重要的環節.通過小結歸納出圖形的9條性質,基本囊括了正方形中45°角的性質,每一個性質都可以獨立作為一個命題,訓練學生“有邏輯地思考問題”[3],同時加強相關性質的整合,提高解決問題的能力.

“悟”的環節是課堂教學過程的延續,作為課堂教學的有效補充.通過自我反思和感悟,學生能夠實現知識的升華:在特例的啟發下建立一般性規律,探究問題存在的條件,發掘圖形運動的路徑,還可以獲取更多的結論,從而使課堂行為得到升華.

“五步教學法”中的“五步”不是相互割裂的,而是一個有機的整體.“預”作為“五步教學法”的起始環節,起著承上啟下的作用,它既是“悟”的延續,又連接著“解”和“探”,是課堂順利進行的潤滑劑;“解”是學生學習行為的直接反饋,通過“解”了解學生的學習情況,是有效調節課堂、科學實施“探”的保證,是高效課堂的助推劑;“探”是教學環節的重點,是一節課的靈魂,“探”的質量決定了一節課的效果,是高效課堂的興奮劑;“結”是學生對課堂學習的主觀反映,是對自己學習的一個客觀評價,實現了“教—學—評”的一體化;“悟”是課堂教學活動的延續,是學生將所學內容經過自己的消化、吸收和反芻,轉化為自己的思路和方法的過程,是課堂教學的催化劑.

只有堅持五步并舉,才能落實“五步教學法”,提升學生的數學核心素養,實現課堂教學的提質增效.