精研真題一題多解 洞察結(jié)構(gòu)二度創(chuàng)造

沈建新

(德清縣第三中學(xué),浙江 德清 313201)

常態(tài)化的習(xí)題教學(xué)基于傳統(tǒng)解題教學(xué)的“就題論題”,往往忽視對(duì)試題潛在價(jià)值的發(fā)掘,沒(méi)有對(duì)試題進(jìn)行更深層次地探究,嚴(yán)重束縛了學(xué)生的思維發(fā)展.那么在教學(xué)實(shí)踐中如何有效地開展習(xí)題教學(xué),才能切實(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢?本文以一道中考真題為切入點(diǎn)進(jìn)行探討.

1 真題呈現(xiàn)與分析

1.1 真題呈現(xiàn)

例1如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊AD上,聯(lián)結(jié)EF.

圖1

1),2)略.

3)①略;

(2022年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)卷第24題)

本文只探究最后一道小題.從試題的呈現(xiàn)形式來(lái)看,題干精練,圖形簡(jiǎn)潔,似乎給出的數(shù)量關(guān)系與所求線段沒(méi)有明顯的關(guān)聯(lián).由于已知信息之間的聯(lián)系是孤立的,且題中線段長(zhǎng)度用字母形式呈現(xiàn),學(xué)生不是很適應(yīng),以致思路受阻;在已知條件與所求線段之間出現(xiàn)思維斷層,因而成為解題障礙.因此,解答此題需要從現(xiàn)有的已知條件中挖掘出隱含信息,通過(guò)有效轉(zhuǎn)化進(jìn)行深入分析,具有較高的思維含量,題目的區(qū)分度也能得以很好地體現(xiàn).

1.2 真題分析

一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題,若沒(méi)有直接的解法,則可嘗試在挖掘出更多的條件信息中,對(duì)隱含信息進(jìn)行加工處理,在此基礎(chǔ)上再來(lái)探究這些信息與所求問(wèn)題之間的關(guān)系,有利于發(fā)現(xiàn)解法[1].

第二,從隱含信息思考,悟幾何直觀.根據(jù)“在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”,結(jié)合題中信息,可得

∠DAC=∠BAC=∠DBC=∠BDC,

∠DCA=∠DBA, ∠ADB=∠ACB,

由此可證

△DEC∽△AEB∽△ADC,

△DEA∽△CEB∽△CBA.

根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”的基本性質(zhì),進(jìn)而可以得到線段之間的一些關(guān)系,這樣可以挖掘出更多的隱含信息,結(jié)合這些信息,為后續(xù)的解題做好思維準(zhǔn)備.

在分析過(guò)程中,可以從“關(guān)鍵詞句”和“隱含信息”這兩個(gè)不同的思維起點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生,激發(fā)學(xué)生的有效思考.培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確捕捉信息的能力,注重把握幾何圖形中隱含的特殊性質(zhì),為解題提供良好的切入點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生“有邏輯地思考”,從而讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的思維.

2 真題的多維度探究

通過(guò)一個(gè)典型問(wèn)題,啟發(fā)學(xué)生從不同角度,運(yùn)用不同思路、方法去分析和解答,這樣的借題發(fā)揮訓(xùn)練,可以讓學(xué)生的思維更寬廣,逐步形成題感,提升解題能力.

思路1依托定理,類比遷移可得法.

圖2

EM=EN,

易得

設(shè)BE=mx,DE=nx,結(jié)合已知線段AB,CD和所求線段AE,CE,聯(lián)想到可證明△CDE∽△BAE,得

從而

于是

AE·CE=mnx2.

由問(wèn)題“試用含m,n,p的式子表示AE·CE”,執(zhí)果索因,思考“x2”與“m,n,p”之間的關(guān)系.由△CDE∽△CAD,得

即

從而

整理得

故

思路2洞察結(jié)構(gòu),構(gòu)造模型得思路.

解法2如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M,CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,易證

圖3

△CND≌△CMB,

得

ND=MB.

因?yàn)椤鰿AN≌△CAM,所以

AN=AM.

結(jié)合已知條件可得

設(shè)AE=a,CE=b,由CM2=AC2-AM2=CB2-MB2,得

整理,得

(a+b)2=p2+mn.

(1)

又由△CDE∽△CAD,得

從而

p2=ab+b2.

(2)

由式(1)和式(2)可得

a2-b2=mn-p2.

從而

得

即

思路3由因?qū)Ч?聯(lián)想設(shè)參妙轉(zhuǎn)化.

解法3如圖4,易證△BEC∽△AED,得

圖4

設(shè)BE=px,AE=nx.因?yàn)椤鰿DE∽△BAE,得

則

所以

由△CDE∽△CAD,得

即

整理得

從而

思路4幾何解法,合情推理自然成.

解法4如圖4,易證△ABE∽△ACD,得

即

AE·AC=mn.

因?yàn)椤鰿DE∽△CAD,得

所以

CE·AC=p2.

進(jìn)一步可得CE·AC+AE·AC=p2+mn,

即

AC2=p2+mn,

且

AE·CE·AC2=mnp2,

從而

評(píng)注思路3和思路4都是從“隱含信息”思考,結(jié)合題中條件,由因?qū)Ч?利用各種不同的三角形相似得到線段之間的一些關(guān)系,再通過(guò)設(shè)參法,從“獨(dú)立”到“聯(lián)系”,化“未知”為“已知”,把線段的長(zhǎng)度置于“相似三角形”中進(jìn)行合情推理,進(jìn)而解決問(wèn)題.

綜上所述,通過(guò)一題多解,可以讓學(xué)生體驗(yàn)解題方法的多樣性.從題中“關(guān)鍵詞句”和“隱含信息”兩方面思考,既有通性通法,又有特殊技巧.教師應(yīng)堅(jiān)持恰當(dāng)而適量地采用一題多解的方法進(jìn)行思路分析,探討解題規(guī)律和對(duì)習(xí)題進(jìn)行多角度“追蹤”,讓學(xué)生“以少勝多”地鞏固基礎(chǔ)知識(shí),切實(shí)提高分析問(wèn)題的能力,掌握基本的解題方法與技巧[2].

3 基于真題的二度創(chuàng)造

3.1 基于“條件”改編的再創(chuàng)造,生長(zhǎng)新問(wèn)題

解題教學(xué)不僅需要變化,而且要善變,要會(huì)通過(guò)對(duì)試題“條件”進(jìn)行改編,讓學(xué)生對(duì)這些大變化和小變化產(chǎn)生興趣,以啟發(fā)學(xué)生的思維.

3.1.1 變更條件,挖掘新結(jié)論

圖5

圖7

證明如圖8,在線段AC上截取AE=CB=n,聯(lián)結(jié)DE.易證△DAE≌△DBC,得∠ADE=∠BDC,且DE=DC=m,從而∠EDC=60°,△DEC為等邊三角形,則EC=m.因?yàn)镋C+AE=AC,所以m+n=p.

3.1.2 強(qiáng)化條件,探究新關(guān)系

圖9

證明如圖10,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M,CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,易證△CND≌△CMB,從而CN=CM.易得四邊形NAMC為正方形,結(jié)合已知條件可得

評(píng)注上述生長(zhǎng)問(wèn)題將原題中的普通△ABD強(qiáng)化為“直角三角形”,借助“角平分線,軸對(duì)稱”結(jié)構(gòu),作“雙垂直”輔助線解決問(wèn)題,進(jìn)而探索線段之間的關(guān)系.

3.1.3 弱化條件,關(guān)聯(lián)新定理

生長(zhǎng)問(wèn)題4如圖11,若AB=m,AD=n,CD=p,BC=q,試用含m,n,p,q的式子表示AC·BD.

圖11

BD·MA=nq.

(3)

易得

∠MDC=∠ADB,

可證

△MDC∽△ADB,

得

即

BD·MC=mp,

(4)

式(3)+式(4),得

BD·(MA+MC)=mp+nq,

從而

AC·BD=mp+nq.

綜上所述,基于試題“條件”的改編,可通過(guò)變更條件、強(qiáng)化條件、弱化條件,甚至改變條件的背景、隱藏條件或顯示條件等手段嘗試對(duì)試題進(jìn)行再創(chuàng)造,以達(dá)到一題多變、一題多練的效果.

3.2 基于“結(jié)論”拓展的再創(chuàng)造,生長(zhǎng)新價(jià)值

善于發(fā)現(xiàn)并挖掘圖形的特征,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考,把“結(jié)論”再向前推進(jìn)一步,經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程.因此,借題發(fā)揮,通過(guò)“結(jié)論”來(lái)拓展延伸是關(guān)鍵一步.

3.2.1 深挖結(jié)論,化隱為顯

圖13

證明如圖14,聯(lián)結(jié)FB,易得

∠2=∠3, ∠1=∠5=∠4.

因?yàn)椤螩FB=∠1+∠2,∠CBF=∠3+∠4,所以

∠CFB=∠CBF,

得

CF=CB.

易證

△CEB∽△CBA,

得

即

CB2=CE·CA,

則

CF2=CE·CA.

評(píng)注由上述證明可知CD=CF=CB,故點(diǎn)D,F,B在以點(diǎn)C為圓心、CB為半徑的圓上.

3.2.2 追本溯源,深思模型

圖15

證明如圖16,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M,作CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.易證

△CND≌△CMB,

從而

ND=MB,

于是AB+AD=AM+MB+AN-ND=AM+AN.

因?yàn)椤鰽CN≌△ACM,得

AN=AM,

所以

m+n=2AM.

評(píng)注由題意可知,該基本圖形包含角平分線、對(duì)角互補(bǔ)、鄰邊相等這3個(gè)結(jié)構(gòu)條件,可知二推一.利用“角平分線”,可作“雙垂直”輔助線;利用“對(duì)角互補(bǔ)”,可構(gòu)造其中一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角,得等角;利用“鄰邊相等”,可借助“共端點(diǎn),等線段”結(jié)構(gòu),通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形.解決此類基本圖形的相關(guān)問(wèn)題,可引導(dǎo)學(xué)生深思模型,形成一定的處理策略.

3.2.3 洞察結(jié)構(gòu),溯源定理

圖17

證明如圖18,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M,EN⊥AD于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H.易得

S△ABD=S△ABE+S△ADE,

從而

則

整理得

mnsin 2α=(m+n)psinα.

因?yàn)閟in 2α=2sinαcosα,所以

mn·2cosα=(m+n)p,

得

評(píng)析由上述探索可聯(lián)想到張角定理,即如圖19,在△ABD中,點(diǎn)E是邊BD上的點(diǎn),聯(lián)結(jié)AE,則

圖19

綜上所述,基于試題“結(jié)論”拓展的再創(chuàng)造,深入挖掘隱含結(jié)論,可以開闊學(xué)生的眼界,發(fā)散學(xué)生的思維,增長(zhǎng)學(xué)生的見識(shí);還可以增強(qiáng)學(xué)生的整體意識(shí),引導(dǎo)學(xué)生著眼于知識(shí)間的聯(lián)系與規(guī)律,從系統(tǒng)的高度去把握知識(shí)、進(jìn)行思考,做到八方聯(lián)系、渾然一體.

4 基于思路設(shè)計(jì)的實(shí)踐反思

學(xué)而不思則罔,思而不學(xué)則殆.從典型中考真題入手,深入探究,充分挖掘隱含的價(jià)值,然后進(jìn)行必要的解后反思、歸納,對(duì)解題教學(xué)有極大的幫助.

4.1 精研真題,遴選經(jīng)典于題海

在教學(xué)中,教師要跳出“題海戰(zhàn)術(shù)”的怪圈,精心選取值得開發(fā)的中考真題或教材中的例題、習(xí)題,這就需要教師“先下題海”,從題海中篩選出經(jīng)典題目.一道好的數(shù)學(xué)題應(yīng)當(dāng)是學(xué)生進(jìn)行豐富數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的起點(diǎn),它應(yīng)該具有良好的結(jié)構(gòu)和豐富的變化.具有良好結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)題一般有多種解題方法、多個(gè)核心知識(shí)交匯,蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想;題目的豐富變化可以將一道簡(jiǎn)單的“源問(wèn)題”編織出一張精彩紛呈的知識(shí)網(wǎng),在變化探究中,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)[3].

4.2 二度創(chuàng)造,常現(xiàn)拓展于課堂

在教學(xué)中,我們可以將一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行多角度再創(chuàng)造,由淺入深、由特殊到一般、由常規(guī)到靈活,以便讓學(xué)生學(xué)會(huì)從問(wèn)題之間的聯(lián)系來(lái)理解問(wèn)題的本質(zhì),在一定程度上減少思維的惰性與僵化,從而更深刻地理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí).這就要求教師深度探究中考真題或教材中的例題、習(xí)題,善拓展,常更新,從一題出發(fā)延伸變式,得出各種新問(wèn)題,目的不僅在于一個(gè)問(wèn)題的解決,還在于通過(guò)解決一個(gè)問(wèn)題融通一類問(wèn)題,達(dá)成思路的拓展,并以此為載體培養(yǎng)學(xué)生思維的遷移能力.

4.3 歸納提煉,銘記策略于心中

在教學(xué)中,講完一種方法,我們可以剖析方法步驟后面的思想,感悟方法之中的策略,將外在的學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的知識(shí)力量.某些基本圖形的固定處理策略往往是解題的關(guān)鍵.只有洞察圖形結(jié)構(gòu),才能借助模型找到解決之道.引導(dǎo)學(xué)生從“問(wèn)題”中來(lái),到“模型”中去,生成相應(yīng)的解題策略,更要多進(jìn)行解題教學(xué)內(nèi)容的整理、歸納與提煉,畫思維導(dǎo)圖,得解題套路.平時(shí)多注重積累與歸納,用時(shí)方能獲得解題的靈感.

習(xí)題教學(xué)在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中占有非常重要的比重.如何讓習(xí)題課也能上得有趣味、上出新授課那樣有“探索未知領(lǐng)域”的效果?這需要教師在課前做沉浸式探索,精心預(yù)設(shè).教師通過(guò)一題多解、二度創(chuàng)造,使教學(xué)“少而精”,讓學(xué)生有足夠的時(shí)間進(jìn)行練習(xí),充分地在問(wèn)題中探究、在探究中反思、在反思中發(fā)現(xiàn)、在發(fā)現(xiàn)中成長(zhǎng),從而全面發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).