精研真題一題多解 洞察結構二度創造

沈建新

(德清縣第三中學,浙江 德清 313201)

常態化的習題教學基于傳統解題教學的“就題論題”,往往忽視對試題潛在價值的發掘,沒有對試題進行更深層次地探究,嚴重束縛了學生的思維發展.那么在教學實踐中如何有效地開展習題教學,才能切實發展學生的數學關鍵能力,提升數學核心素養呢?本文以一道中考真題為切入點進行探討.

1 真題呈現與分析

1.1 真題呈現

例1如圖1,四邊形ABCD內接于⊙O,對角線AC,BD相交于點E,點F在邊AD上,聯結EF.

圖1

1),2)略.

3)①略;

(2022年湖南省長沙市中考數學卷第24題)

本文只探究最后一道小題.從試題的呈現形式來看,題干精練,圖形簡潔,似乎給出的數量關系與所求線段沒有明顯的關聯.由于已知信息之間的聯系是孤立的,且題中線段長度用字母形式呈現,學生不是很適應,以致思路受阻;在已知條件與所求線段之間出現思維斷層,因而成為解題障礙.因此,解答此題需要從現有的已知條件中挖掘出隱含信息,通過有效轉化進行深入分析,具有較高的思維含量,題目的區分度也能得以很好地體現.

1.2 真題分析

一個復雜的問題,若沒有直接的解法,則可嘗試在挖掘出更多的條件信息中,對隱含信息進行加工處理,在此基礎上再來探究這些信息與所求問題之間的關系,有利于發現解法[1].

第二,從隱含信息思考,悟幾何直觀.根據“在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等”,結合題中信息,可得

∠DAC=∠BAC=∠DBC=∠BDC,

∠DCA=∠DBA, ∠ADB=∠ACB,

由此可證

△DEC∽△AEB∽△ADC,

△DEA∽△CEB∽△CBA.

根據“相似三角形的對應邊成比例”的基本性質,進而可以得到線段之間的一些關系,這樣可以挖掘出更多的隱含信息,結合這些信息,為后續的解題做好思維準備.

在分析過程中,可以從“關鍵詞句”和“隱含信息”這兩個不同的思維起點引導學生,激發學生的有效思考.培養學生準確捕捉信息的能力,注重把握幾何圖形中隱含的特殊性質,為解題提供良好的切入點,引導學生“有邏輯地思考”,從而讓學生擁有數學的思維.

2 真題的多維度探究

通過一個典型問題,啟發學生從不同角度,運用不同思路、方法去分析和解答,這樣的借題發揮訓練,可以讓學生的思維更寬廣,逐步形成題感,提升解題能力.

思路1依托定理,類比遷移可得法.

圖2

EM=EN,

易得

設BE=mx,DE=nx,結合已知線段AB,CD和所求線段AE,CE,聯想到可證明△CDE∽△BAE,得

從而

于是

AE·CE=mnx2.

由問題“試用含m,n,p的式子表示AE·CE”,執果索因,思考“x2”與“m,n,p”之間的關系.由△CDE∽△CAD,得

即

從而

整理得

故

思路2洞察結構,構造模型得思路.

解法2如圖3,過點C作CM⊥AB于點M,CN⊥AD交AD的延長線于點N,易證

圖3

△CND≌△CMB,

得

ND=MB.

因為△CAN≌△CAM,所以

AN=AM.

結合已知條件可得

設AE=a,CE=b,由CM2=AC2-AM2=CB2-MB2,得

整理,得

(a+b)2=p2+mn.

(1)

又由△CDE∽△CAD,得

從而

p2=ab+b2.

(2)

由式(1)和式(2)可得

a2-b2=mn-p2.

從而

得

即

思路3由因導果,聯想設參妙轉化.

解法3如圖4,易證△BEC∽△AED,得

圖4

設BE=px,AE=nx.因為△CDE∽△BAE,得

則

所以

由△CDE∽△CAD,得

即

整理得

從而

思路4幾何解法,合情推理自然成.

解法4如圖4,易證△ABE∽△ACD,得

即

AE·AC=mn.

因為△CDE∽△CAD,得

所以

CE·AC=p2.

進一步可得CE·AC+AE·AC=p2+mn,

即

AC2=p2+mn,

且

AE·CE·AC2=mnp2,

從而

評注思路3和思路4都是從“隱含信息”思考,結合題中條件,由因導果,利用各種不同的三角形相似得到線段之間的一些關系,再通過設參法,從“獨立”到“聯系”,化“未知”為“已知”,把線段的長度置于“相似三角形”中進行合情推理,進而解決問題.

綜上所述,通過一題多解,可以讓學生體驗解題方法的多樣性.從題中“關鍵詞句”和“隱含信息”兩方面思考,既有通性通法,又有特殊技巧.教師應堅持恰當而適量地采用一題多解的方法進行思路分析,探討解題規律和對習題進行多角度“追蹤”,讓學生“以少勝多”地鞏固基礎知識,切實提高分析問題的能力,掌握基本的解題方法與技巧[2].

3 基于真題的二度創造

3.1 基于“條件”改編的再創造,生長新問題

解題教學不僅需要變化,而且要善變,要會通過對試題“條件”進行改編,讓學生對這些大變化和小變化產生興趣,以啟發學生的思維.

3.1.1 變更條件,挖掘新結論

圖5

圖7

證明如圖8,在線段AC上截取AE=CB=n,聯結DE.易證△DAE≌△DBC,得∠ADE=∠BDC,且DE=DC=m,從而∠EDC=60°,△DEC為等邊三角形,則EC=m.因為EC+AE=AC,所以m+n=p.

3.1.2 強化條件,探究新關系

圖9

證明如圖10,過點C作CM⊥AB于點M,CN⊥AD交AD的延長線于點N,易證△CND≌△CMB,從而CN=CM.易得四邊形NAMC為正方形,結合已知條件可得

評注上述生長問題將原題中的普通△ABD強化為“直角三角形”,借助“角平分線,軸對稱”結構,作“雙垂直”輔助線解決問題,進而探索線段之間的關系.

3.1.3 弱化條件,關聯新定理

生長問題4如圖11,若AB=m,AD=n,CD=p,BC=q,試用含m,n,p,q的式子表示AC·BD.

圖11

BD·MA=nq.

(3)

易得

∠MDC=∠ADB,

可證

△MDC∽△ADB,

得

即

BD·MC=mp,

(4)

式(3)+式(4),得

BD·(MA+MC)=mp+nq,

從而

AC·BD=mp+nq.

綜上所述,基于試題“條件”的改編,可通過變更條件、強化條件、弱化條件,甚至改變條件的背景、隱藏條件或顯示條件等手段嘗試對試題進行再創造,以達到一題多變、一題多練的效果.

3.2 基于“結論”拓展的再創造,生長新價值

善于發現并挖掘圖形的特征,學會用數學的思維思考,把“結論”再向前推進一步,經歷數學“再發現”的過程.因此,借題發揮,通過“結論”來拓展延伸是關鍵一步.

3.2.1 深挖結論,化隱為顯

圖13

證明如圖14,聯結FB,易得

∠2=∠3, ∠1=∠5=∠4.

因為∠CFB=∠1+∠2,∠CBF=∠3+∠4,所以

∠CFB=∠CBF,

得

CF=CB.

易證

△CEB∽△CBA,

得

即

CB2=CE·CA,

則

CF2=CE·CA.

評注由上述證明可知CD=CF=CB,故點D,F,B在以點C為圓心、CB為半徑的圓上.

3.2.2 追本溯源,深思模型

圖15

證明如圖16,過點C作CM⊥AB于點M,作CN⊥AD交AD的延長線于點N.易證

△CND≌△CMB,

從而

ND=MB,

于是AB+AD=AM+MB+AN-ND=AM+AN.

因為△ACN≌△ACM,得

AN=AM,

所以

m+n=2AM.

評注由題意可知,該基本圖形包含角平分線、對角互補、鄰邊相等這3個結構條件,可知二推一.利用“角平分線”,可作“雙垂直”輔助線;利用“對角互補”,可構造其中一個內角的鄰補角,得等角;利用“鄰邊相等”,可借助“共端點,等線段”結構,通過旋轉構造全等三角形.解決此類基本圖形的相關問題,可引導學生深思模型,形成一定的處理策略.

3.2.3 洞察結構,溯源定理

圖17

證明如圖18,過點E作EM⊥AB于點M,EN⊥AD于點N,過點D作DH⊥AB于點H.易得

S△ABD=S△ABE+S△ADE,

從而

則

整理得

mnsin 2α=(m+n)psinα.

因為sin 2α=2sinαcosα,所以

mn·2cosα=(m+n)p,

得

評析由上述探索可聯想到張角定理,即如圖19,在△ABD中,點E是邊BD上的點,聯結AE,則

圖19

綜上所述,基于試題“結論”拓展的再創造,深入挖掘隱含結論,可以開闊學生的眼界,發散學生的思維,增長學生的見識;還可以增強學生的整體意識,引導學生著眼于知識間的聯系與規律,從系統的高度去把握知識、進行思考,做到八方聯系、渾然一體.

4 基于思路設計的實踐反思

學而不思則罔,思而不學則殆.從典型中考真題入手,深入探究,充分挖掘隱含的價值,然后進行必要的解后反思、歸納,對解題教學有極大的幫助.

4.1 精研真題,遴選經典于題海

在教學中,教師要跳出“題海戰術”的怪圈,精心選取值得開發的中考真題或教材中的例題、習題,這就需要教師“先下題海”,從題海中篩選出經典題目.一道好的數學題應當是學生進行豐富數學探究活動的起點,它應該具有良好的結構和豐富的變化.具有良好結構的數學題一般有多種解題方法、多個核心知識交匯,蘊涵著重要的數學思想;題目的豐富變化可以將一道簡單的“源問題”編織出一張精彩紛呈的知識網,在變化探究中,培養學生的數學思維,發展學生的問題意識[3].

4.2 二度創造,常現拓展于課堂

在教學中,我們可以將一個問題進行多角度再創造,由淺入深、由特殊到一般、由常規到靈活,以便讓學生學會從問題之間的聯系來理解問題的本質,在一定程度上減少思維的惰性與僵化,從而更深刻地理解與掌握數學知識.這就要求教師深度探究中考真題或教材中的例題、習題,善拓展,常更新,從一題出發延伸變式,得出各種新問題,目的不僅在于一個問題的解決,還在于通過解決一個問題融通一類問題,達成思路的拓展,并以此為載體培養學生思維的遷移能力.

4.3 歸納提煉,銘記策略于心中

在教學中,講完一種方法,我們可以剖析方法步驟后面的思想,感悟方法之中的策略,將外在的學習內容轉化為內在的知識力量.某些基本圖形的固定處理策略往往是解題的關鍵.只有洞察圖形結構,才能借助模型找到解決之道.引導學生從“問題”中來,到“模型”中去,生成相應的解題策略,更要多進行解題教學內容的整理、歸納與提煉,畫思維導圖,得解題套路.平時多注重積累與歸納,用時方能獲得解題的靈感.

習題教學在當下的數學課堂教學中占有非常重要的比重.如何讓習題課也能上得有趣味、上出新授課那樣有“探索未知領域”的效果?這需要教師在課前做沉浸式探索,精心預設.教師通過一題多解、二度創造,使教學“少而精”,讓學生有足夠的時間進行練習,充分地在問題中探究、在探究中反思、在反思中發現、在發現中成長,從而全面發展數學關鍵能力,提升數學核心素養.