變中不變找規(guī)律 函數(shù)特值試一試
——對中考一類定值問題的探究

陳 通

(江蘇省泗洪縣洪澤湖路實驗學校,江蘇 泗洪 223900)

在一個給定的圖形中,某些元素(如點、線、角、三角形等)按照一定的規(guī)律在運動變化,而在運動變化中,某幾何量或幾何量間的關系(如線段的長度、角的度數(shù)、圖形的周長或面積的大小等)卻始終保持固定的數(shù)值,這就是幾何圖形“變中不變”問題, 也稱“定值”問題[1].求解這類“定值問題”難度較大,解決的辦法一般是將問題特殊化,即先從特殊情況入手,找出定值,然后再一般化處理.

定值問題常見的題型有:線段、角度定值;周長定值;面積定值;線段的乘積定值等[2].比如,對于線段乘積為定值的問題,大多采用相似法,通過相似成比例把乘積問題轉化為比例問題.此外,對于定值問題,還可以設變量x,并用x的代數(shù)式來表示其他變量,通過代數(shù)式變形計算解決問題.若計算結果中不含x和其他變量,則為定值,否則不是.這種用 “數(shù)” 來研究 “形” 的方法,是研究定值問題的常用方法[3],同時體現(xiàn)了轉化思想與數(shù)形結合思想.

1 三角形中的定值問題

圖1 例1題圖 圖2 例1解析示意圖

點評本題是一個選擇題,我們可以通過點E的特殊位置快速選出答案.對于解答題探究定值,一般是先考慮特殊情況,得到定值,再一般化,確定求證途徑.

2 圓中的定值問題

例2如圖3,線段AB是⊙O的直徑,延長AB至點C,使BC=OB,E是線段OB的中點,DE⊥AB交⊙O于點D,P是⊙O上一動點(不與點A,B重合),連接CD,PE,PC.

(1)求證:CD是⊙O的切線.

圖5 例2(1)問解析示意圖

點評解決定值問題時,對于一些與定點、定長等有關的定值問題,定值一定和題目所給的“不變量”有關.因此,在“變化”的量中尋求“不變”的量是解決問題的關鍵.一般可先從特殊位置、極端位置或特殊數(shù)值入手,探究出這個定值,然后再借助特殊情況的思路作為探討一般情況的基礎,完成一般情況的證明.

3 矩形中的定值問題

例3如圖6,在邊長為3的正方形ABCD中,點E是CD邊上一點,點F是CB延長線上一點,AF=AE,連接EF,交AB于點K,過點A作AH⊥EF于H,延長AH交BC于點G,連接HD,若BG=2,則AK·DH=____．

圖6 例3題圖 圖7 例3解析示意圖

點評根據(jù)正方形和三角形的性質以及一般角的三角函數(shù)值等,找出AK=FG,從而可得3-2x=2+3x是解題的關鍵．

4 平行四邊形中的定值

分析本題主要考查了平行線之間的距離和等邊三角形的判定和性質,先證明△ABE是等邊三角形,再在AD上取點Q,使AQ=AN,構造△AQP≌△ANP(SAS),將折線線段和轉化為平行線之間的距離,得出M、P、Q在同一直線上,并且PQ⊥BC,通過解三角形求出AP．

對于一些與定點、定長等有關的定值問題,可以將問題引向特殊情形,先求出這個定值, 再進行證明,探索出的定值必須通過證明才能明確其正確性,要論證的問題就是特殊情形與一般情形的固定關系.也可直接設參數(shù)進行推理、計算,并在計算中消去參數(shù),得到定值.得到了定值,做題時就有了明確的目標與方向,再證明一般情況下結論成立即可.