基于慕課的“信號與系統”教學實踐

金 林 萬麗娟 江勝利 衛 寧 劉暢詠

(合肥師范學院 電子信息工程學院,合肥 230601)

“信號與系統”是一門承上啟下的專業基礎課程,一方面需要“高等數學”“復變函數”“電路分析”等知識,另一方面又是“數字信號處理”“通信原理”等課程的基礎。先修課程的掌握程度會影響該課程的學習,而該課程的學習又對后續課程影響很大。提高該課程的教學質量對于提升電子相關專業學生的專業能力有重要的意義[1]。該課程的知識點多且環環相扣,想學好這門課程,學生需要扎實地理解每個知識點的物理意義。而合肥師范學院電子信息類專業的學生數理能力和基礎相對薄弱,當所教內容涉及較為復雜的數學計算和物理概念時,學生往往感到難以理解、缺乏學習興趣。

結合課程的特點和地方院校的實際情況,針對現存的教學問題,對課程進行教學改革,充分利用精品慕課資源,理解“信號與系統”的教學內涵,透徹講解物理概念,采用線上線下協同教學,激發學生自主學習興趣。

1 教學現狀

“信號與系統”的優秀教材較多,這些教材各有特色,適用的教學對象有所差別,應根據學生的學情合理選擇相應教材[2-4]。合肥師范學院選用教材為鄭君里著第三版《信號與系統》,其上冊內容主要是連續系統時域和變換域分析,也是教學的重點章節。“信號與系統”課程概念多、公式多,地方院校的學生普遍反映學習難度大。主講教師和學生探討后,總結分析學習難度大的可能因素來自于以下幾個方面。

(1)高等數學等知識儲備不夠。課程必然會涉及高數一些關于微分、積分的概念,以及復變函數的極坐標系等知識。如果學生對此部分內容生疏,整個課程就完全無法進行下去。

(2)概念抽象,理解困難。教材內容嚴謹,概念解釋精簡,學生難以掌握知識點。比如,“1.5信號的分解”僅脈沖分量這一部分就有8個公式,如果不理解分解的含義,光背公式是沒有意義的。而此部分內容又是第二章“2.6沖激響應與階躍響應”“2.7卷積”等的基礎。

(3)答疑不夠仔細。學生前面一個知識點沒有很好地掌握,會影響后一個知識點的吸收。

2 課堂教學改革

為了解決以上幾個問題,重新設計教學活動和配置教學資源,基于“信號與系統”的慕課資源,開展25%學時的線上教學與線下面授有機結合。本課程共64個課時,其中16課時用于線上教學,48課時用于線下。

2.1 知識點回顧

關于第一個問題,教學改進措施是在相關章節授課時,會首先回顧高數等知識點,如表1所示。雖然回顧舊知識點占用少量課時,但是,學生基于回顧的內容,能夠快速領會本課程新的知識點。

表1 高數等知識點回顧和對應的信號與系統章節

線下教學時,具體采用的授課方式是從高數等教材中截圖,在課堂上帶學生回顧導數和積分等的準確定義,或畫簡圖來輔助理解,如圖1所示。

圖1 高數等知識點回顧

比如,3.2節偶函數傅里葉系數的正弦分量,見公式(1),看起來形式復雜。但是,學生如果理解在一個周期內,該奇函數曲線下面積的正值和負值相等,那么直觀得到正弦分量值為0。又如,理清極坐標和直角坐標系的關系,是掌握第3章和第4章各種運算的前提。

(1)

復習數學概念可輔助本課程的學習。但更為重要的是,“信號與系統”課程的教學內涵是信號分析與系統分析的原理和概念,也不能將該課程變為“數學”課,大量地講解如何計算卷積,如何計算系統響應,如何求信號的變換。這是普遍存在的誤區,造成學生陷入計算細節和公式。

2.2 借鑒慕課資源

關于第二個問題,教學改進措施是通過線上精品慕課資源提煉出信號與系統的難點,用于線下教學。線下教學能夠與學生互動,及時掌握學生學習情況,比學生僅觀看慕課視頻的線上教學效果好[5-6]。主講教師在線下教學時,引用了“學堂在線”的清華大學宮琴,“中國大學MOOC”的北郵尹霄麗、北交大陳后金、東南大學孟橋、西電郭寶龍、華中科技大學宋琪等教師及團隊慕課視頻和課件[7-10]。從不同的慕課資源中,一線教師既能學習如何系統把握教學內涵,又能學習數學和物理概念的引申,從而提升教學效果。

北交大陳后金老師在慕課章節“信號與系統課程總結”中,清晰地梳理了信號與系統的基本原理和基本分析方法。“信號與系統”不是講“求解系統響應”,更不是講“信號的變換”。“求解系統響應”是途徑,通過求解系統響應揭示信號與系統的作用機理;“信號變換”是工具,目的是為信號分析和系統描述提供不同的方法。基于此教學內涵,再結合一些計算難點的細節推導,進行線下教學,能讓學生透徹掌握信號表示與系統描述的基本思想,為進一步學習后續課程奠定堅實的理論基礎。

以下的慕課示例主要用于引導學生注重原理和概念理解,以及分析方法的應用。除教材章節外,章節標號均指慕課的章節。第一章的重點是常見信號和信號的運算,難點是脈沖分量的分解和沖激信號的性質。線上教學1課時,線下分配8課時。

信號的分解教學引用宮琴老師的慕課。信號可表示為δ信號是時域分析的要點。宮老師利用公式和動畫清晰的演示了教材1.5節信號分解成脈沖分量的過程,并指出信號分解為δ(t)的物理意義和實際應用(1.5節)。

信號的表示教學引用宋琪老師“調幅廣播系統”的例子(1.1節)、陳后金老師的“開關電路與階躍信號”(2.2節)、郭寶龍老師“學好確定信號是基礎,今后的隨機信號分析方法與確定信號分析方法一致,只要把輸入、輸出換成統計量(V1.01節)”。

信號的運算教學時,可以加入口訣,幫助學生記憶。比如移位是“左加右減”,反褶是“照鏡子”,尺度變換是“磁帶的慢放快放”。尺度變換難點在于變換時,要抓住函數值不變,針對自變量t,如f(2t)變換為f(2t-1),t的變化是從t變換到t-1/2。

在該章的學習中,基本信號、基本運算與基本分解都是為了對復雜信號的分析轉化為對基本信號的分析,這是信號分析與處理的基本思想。

第二章的重點是卷積,其次雙零法,難點是卷積公式法中積分限的確定、卷積圖解法,0+狀態的初始條件。該部分線上教學分配5課時,線下分配8課時。

卷積的物理意義、卷積公式法和圖解法引用宮老師(2.6節)和尹老師(2.6節)慕課。尤其,卷積的圖解法中,理解f2(t-τ)的移位是難點,但是很少有網課給出詳細的過程。宮老師指出,以t表示移動的距離,那么“t=0,f2(t-τ)未移動”“t>0,f2(t-τ)右移”“t<0,f2(t-τ)左移”,因此,“t從-∞到+∞,對應f2(t-τ)從左向右移動”。線下教學時,主講教師結合慕課,板書給出某個f2(t-τ)函數的移位示意圖,如圖2所示。另外,陳老師(3.5節)提到卷積公式法的計算結果等于0的區間也要標注,不然學生有時候不太理解為什么要加上u(t),并且還板書給出了兩個矩形脈沖的快速卷積運算示例。

圖2 某f2(-τ)函數的移位

線上發布卷積拓展內容供學生課后思考。該拓展內容引自孟橋老師舉了方波和折線構成的信號相卷積的例子。該例子綜合運用了信號移位、卷積的微分性質和結合律,將信號轉換成方波信號相卷積后再求積分,并引出思考“如果不是有始信號進行微積分,會出現什么問題”。孟老師還提到了杜阿梅爾積分(2.6.1節)、轉移算子(2.2和2.9節)。

該章的學習中,卷積積分不僅僅是個計算,更重要的是揭示了它們在時域相互作用的機理,即輸入信號、輸出信號和系統三者的關系。單位沖激響應h(t)盡管是個信號,但是它是在時域用來描述系統的。時域分析是基礎,后面頻域或復頻域分析需要回望時域分析。

第三章重點是傅里葉變換和采樣定理,難點是周期信號的傅里葉級數和頻譜、抽樣信號的傅里葉變換。該部分線上教學分配6課時,線下分配14課時。

信號的頻域分析為信號分析與處理提供了一種新的途徑。陳老師通過“男女生聲音”“濾除噪聲”和“識別數字鍵”三個小例子直觀地解釋了在信號的分析時,為什么要引入頻域分析(4.1節)。理解頻譜的概念,是從時域分析轉向變換域分析的前提。結合圖3和尹老師的“頻率特性與頻譜”(3.1節),學生可直觀理解信號時域表達和頻譜之間的對應關系。

圖3 頻率特性與頻譜

為什么信號能分解成傅里葉級數,傅里葉系數怎么求,孟老師和尹老師也對此展開講述(3.2節)。先引入信號正交函數分解和完備正交函數集的概念,以矢量正交分解類比,兩個矢量正交時,誤差分量最小,因此,信號分解時采用正交分解。再根據方均誤差最小原則來求最佳系數c12。在正交分解的概念講清楚后,再引入三角函數形式的傅里葉級數的系數的求法。三角函數是個完備正交函數集,滿足Dirichlet條件的信號可基于三角函數集分解,其系數是按求最佳系數c12的方法得到。這樣,學生就理解了傅里葉系數的由來。

(2)

信號展開成傅里葉級數時的吉布斯現象,孟老師指出其與Dirichlet條件并不矛盾(3.3.7節)。極限情況下的相等,公式(3)左右兩邊的函數誤差是方均誤差。函數的傅里葉級數不是逐點收斂,個別點出現過沖,但跳變點寬度為0,所以仍是方均收斂。

(3)

周期信號的傅里葉變換是教學難點。尹老師的計算推導清晰易記,單位沖激序列和它的傅里葉變換被形象地稱為“兩把梳子”,非常方便學生們記憶;f(t)和δ(t-T)的卷積式(4)被稱為“復制”,引申到3.10節抽樣信號的傅里葉變換中,信號的頻譜和沖激序列的頻譜相卷積式(5),被形象地稱為“復制”多份頻譜。

f(t)*δ(t-nT)=f(t-nT)

(4)

(5)

陳老師從物理概念的角度更深層次地解釋了周期信號的傅里葉變換。周期信號的頻譜和頻譜密度函數本質上一致,在某些情況下,要同時處理周期信號和非周期信號,便于分析和處理(4.6節)。抽樣定理的本質是信號時域的離散化導致其頻域的周期化(4.17節)。時域周期化對應頻域離散化。信號在時域中的相移,對應頻譜函數在頻域中的頻域(4.7節)。學生理解這些概念,再去記公式,事半功倍。

該章的學習中,信號的變換是把一個信號表示成另一類信號,它前面的加權系數稱之為相應的變換。周期信號和非周期信號傅里葉變換的聯系都是將時域信號表現成虛指數信號。

第四、五章的重點是復頻域的拉氏變換、拉氏變換法分析電路、H(s)求響應和模擬濾波器,難點是系統的頻率響應和系統的物理可實現性。該部分線上教學分配4課時,線下分配12課時。

由于時域描述和頻域描述有一定的局限性,所以引入復頻域分析。復頻域的信號表示和分解的物理概念與時域和頻域是一脈相承的,復頻域的信號運算主要是拉氏變換和反變換的運算、系統函數求響應。

教材4.5節用拉氏變換方法求解電路響應時,需特別注意的是,畫0-等效電路,用來求解儲能元件起始值;但是,列s域方程時,畫t>0的s域等效模型,比如,電源0-時刻是-E,0+時刻是+E,那么電源的單邊拉氏變換是E/s。

教材4.7節和4.8節系統函數零極點分布決定時域和頻響特性引用宮老師慕課,其利用矢量圖演示了零極點分布,分析了低通、高通、帶通濾波器的頻響特性。孟老師指出對于很難求根的式子,系統的穩定性用羅斯-霍維斯序列判斷(6.6節)。陳老師給出了具有多級反饋的系統函數表達式,指出級聯型或并聯型框圖比直接型更容易看出系統故障,復雜系統變為子系統,便于分析和實現。(6.9節)。

系統的頻率響應反映系統的物理量只與系統有關,輸入是ejωt,輸出也是它本身,改變的只是幅度加權或者相位。陳老師以“周期為4的矩形波通過不同RC參數系統的頻率響應和時域波形”的簡單示例,直觀地將信號經過系統的時域和頻域的表現統一聯系起來(5.3節)。濾波器濾除的是頻率分量,所以頻域上描述濾波器,濾波器的概念非常清晰(5.4節)。不要以為相位失真是無關緊要的,相位響應的斜率反映了系統的延時特性(5.5節)。這些概念理清,就很容易理解連續時間信號的幅度調制與解調的一些示例(5.9節)。

該章學習中,復頻域的信號表示和信號分解,與時域和頻域分析本質相同,也是將信號表示成另一類信號。拉氏變換將信號表現成復指數信號。

總之,“信號與系統”這門課程主要學習信號表示、系統描述和分析方法,而不是特別側重于計算。因為工程中,很多問題沒有數學表達式,更主要的是通過基本信號來建立時域和頻域對應關系和感性認識,進而解決實際問題。

2.3 協同教學

關于第三個問題,改進措施是采用翻轉課堂的形式。傳統教學中,通常以任務點的形式在學習視頻中設置問題,要求學生作答。而本課程通過反向操作,將不帶問題的慕課視頻發給學生,再讓每位學生看完視頻后,在線上討論區發表一句話,可以是問題,也可以是對視頻內容的理解。通過這個方式,主講教師能全面掌握學情。之后,教師再將學生提出的問題匯總和分類,線下教學時統一解答。

另外,由于不同專業的學生,信號與系統的后續課程不同,那么,可以有針對性地根據專業設置結合后續課程進行授課。比如,在對微電子專業進行4.6節系統函數、4.7節和4.8節系統函數零、極點分布授課時,可以結合后續課程“集成電路原理”的放大器頻率響應和負反饋進行講解。

3 結語

“信號與系統”課程以學生為中心,重視概念理解,參考國內慕課精品課程,針對某些教學難點,探討了對于數理基礎較弱學生的教學方法。該課程獲得2020年“省級線上優秀課堂”稱號。在后續課程改革推進中,將探討如何與專業結合更緊密,以提高學生的工程應用能力。