由對稱α穩定運動驅動的隨機微分方程參數估計

潘玉榮,賈朝勇,沙翠翠

(蚌埠學院數理學院,安徽 蚌埠 233000)

0 引言

隨機微分方程常被用于金融學、經濟學和生物醫學等領域隨機現象的建模[1-2].實際應用中,由于受到隨機因素的干擾,導致隨機微分方程的參數部分未知或全部未知,所以對隨機微分方程中的參數進行估計成為亟待解決的關鍵性問題.隨機微分方程參數的統計推斷是概率論及其應用的重要研究領域.因此,研究隨機微分方程的參數估計問題具有實際價值和重要理論意義.

假設(Ω,F,P)是一個右連續且帶有增的σ-代數流(Ft,t≥0)的概率空間,{Zt,t≥0}是定義在此概率空間上的標準對稱α穩定Lévy運動,1<α<2.考慮如下一類線性隨機微分方程(SDE):

(1)

其中,a,b0為常數.

Ornstein-Uhlenbeck過程{Xt,t≥0}為方程(1)的唯一強解,x0(x0∈R)是該過程的初始值.當方程(1)中的Zt表示高斯過程時,相應的隨機微分方程參數統計推斷問題已被廣泛研究[3-10],特別是由標準布朗運動驅動隨機微分方程的參數估計研究已形成較為完善的理論體系.當Zt表示α穩定Lévy運動時,隨機微分方程(1)的解Xt(t≥0)將服從α穩定邊緣分布.具有α穩定邊緣分布的Ornstein-Uhlenbeck過程屬于非高斯的Ornstein-Uhlenbeck過程.這類非高斯的Ornstein-Uhlenbeck過程在計量經濟學和金融學方面具有重要應用,受到很多學者的廣泛關注.然而因α穩定過程具有無限變差性質,所以關于α穩定Lévy運動驅動的隨機微分方程參數估計的研究較少.HU等[11]提出Ornstein-Uhlenbeck過程在時間上能被連續觀測,采用軌道擬合與加權最小二乘技巧相結合的方法構造了隨機微分方程漂移項未知參數的估計量,并討論估計量的統計性質.鑒于實際問題中獲取所討論過程的連續觀測數據是非常困難的,因此,一些學者假定過程能被離散觀測,研究方程(1)的參數估計問題[12-16].HU等[12]討論了隨機微分方程(1)中漂移項參數a等于0、b0(b0>0)是未知待估參數的情況,構造了b0的最小二乘估計量并研究其統計性質.與文獻[12]不同,ZHANG等[13]基于過程的積分形式構造了未知參數另一種最小二乘估計量,并研究了噪聲Zt的穩定指數α滿足0<α<2時估計量的強相合性和漸近分布.PAN[14]和FAN[15]研究了隨機微分方程(1)的漂移項參數a和b0都未知的情形,運用不同技巧構造了兩個未知參數的最小二乘估計量,然后證明了估計值具有強相合性,并給出了一定規則條件下估計量誤差的漸近分布.

本文主要考慮隨機微分方程(1)漂移項有兩個參數,其中a已知但不等于0,b0(b0>0)未知的情形.假設過程{Xt,t≥0}在離散觀測時間點ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被觀測到,采用文獻[12]中的最小二乘技巧構造了漂移項未知參數的估計量并探討估計量的統計性質.并利用Matlab軟件對該估計量進行了數值模擬.

1 預備知識

定義1.1 假如隨機變量η的特征函數φη(u)能夠被寫成:

Eexp(iθη)=exp(σα(-|θ|α+iθw(θ,α,β))+iμθ),

則稱η服從α穩定分布,記作η～Sα(σ,β,μ).參數α,μ,σ,β分別稱為該α穩定分布的穩定指數、位置參數、尺度參數和偏度參數,且0<α≤2,σ≥0 ,-1≤β≤1,μ∈R.若μ=0,則該分布是嚴格α穩定的;若μ=0且β=0,則稱隨機變量η服從對稱α穩定分布.若μ=0,β=0且σ=1,則稱η服從標準對稱α穩定分布,記作η～Sα(1,0,0).穩定指數α取不同值時的標準對稱α穩定分布密度函數曲線如圖1所示.

圖1 標準對稱α穩定分布Sα(1,0,0)的密度函數

關于α穩定Lévy運動的It-型隨機積分得到了廣泛研究[17-18].假設為定義在[0,+∞)×Ω上的所有實值F-可測過程f(t,ω)構成的族,即當且僅當稱可測過程f(t,ω)關于α穩定Lévy過程是可積的.

引理1.1是文獻[18]中推論3.1的結論,引理1.1的詳細證明過程可參見文獻[18].

引理1.2 假設隨機變量Y服從一個指數α(0<α<2)的穩定分布,即Y～Sα(σ,β,μ),則(i)當0

2 最小二乘估計量的構造及其強相合性

假設隨機過程X在離散時間點ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被觀測到.應用最小二乘技巧,可得到隨機微分方程(1)的比較函數:

(2)

顯然,隨機微分方程(1)滿足Lipschitz條件和線性增長條件,所以其有唯一解,此解如下:

(3)

根據(3)式,通過計算得到:

(4)

(5)

b0是未知參數的真實值,則根據(5)式,容易計算得到:

(6)

要想證明定理2.1,需要建立下面的三個命題.命題2.1、命題2.2和命題2.3分別給出了Ψ1,Ψ2,Ψ3的收斂性.

命題2.1 當h→0時,有Ψ1→0.

命題2.1的結論是顯然成立的.

對于Ψ2,通過基礎計算和H?lder不等式有:

(7)

(8)

根據遍歷定理和引理2.2可知,n→∞,τn(tn)→∞.對于Ψ3,得到:

(9)

(10)

幾乎處處成立.

根據H?lder不等式,容易推出:

(11)

根據式(8)可知,當n→∞時,式(11)右邊趨向0.綜合式(9)至(11)可得,命題2.3成立.

根據式(6)并結合命題2.1、命題2.2和命題2.3,容易證得定理2.1成立.

3 數值模擬

圖2 隨T增大的波動圖

表1 最小二乘估計量的數值模擬結果(真實值為3)

4 結語

針對一類由對稱α穩定Lévy噪聲驅動的隨機微分方程的參數估計問題,本文提出Ornstein-Uhlenbeck過程在時間上能被離散觀測,運用最小二乘技巧構造了隨機微分方程漂移項中未知參數的估計量,并討論了該估計量的統計性質.研究結果表明,在一定條件下構造的最小二乘估計量具有強相合性,Matlab數值模擬結果進一步驗證了該結論.本文構造的最小二乘估計量的統計性質很復雜,本文在此僅論證了其具有強相合性,在今后的研究中將進一步討論該估計量誤差的漸近分布.