非圓齒輪泵流量特性分析及脈動優(yōu)化方法

張奕，周凱紅，佘東

(桂林理工大學(xué)機(jī)械與控制工程學(xué)院，廣西桂林 541006)

0 前言

非圓齒輪泵是一種新型容積泵，兼具圓齒輪泵和凸輪泵的優(yōu)勢[1]，具有大排量、高容積效率的特點(diǎn)，其排量比圓齒輪泵高出4倍，廣泛應(yīng)用于農(nóng)林業(yè)[2]、石油化工[3]、汽車[4]、醫(yī)療[5]等領(lǐng)域。大排量的流體輸送過程極易產(chǎn)生劇烈的瞬時流量脈動，導(dǎo)致輸送不穩(wěn)定，引起泵體與管道的振動和噪聲[6]，嚴(yán)重限制了非圓齒輪泵在工程實(shí)際中的應(yīng)用。

劉大偉等[7-8]提出一種以非圓齒輪為驅(qū)動系統(tǒng)的橢圓齒輪泵，降低了流量脈動率。譚偉明[9]提出一種并聯(lián)卵形齒輪泵平抑流量脈動，其平抑原理為流量補(bǔ)償。曾慶敦等[10]實(shí)現(xiàn)了并聯(lián)卵形齒輪泵的三維數(shù)值模擬仿真。CASTILLA等[11]進(jìn)行外嚙合齒輪泵流場仿真，結(jié)果表明提高重合度和使用卸荷槽可以有效減小流量脈動。此外，眾多學(xué)者通過改變螺旋角、徑向間隙、齒數(shù)等齒輪的主要參數(shù)來減小流量脈動[12]。目前，主要通過增加轉(zhuǎn)子個數(shù)和優(yōu)化轉(zhuǎn)子重要幾何參數(shù)的方法平抑流量脈動。但是，增加轉(zhuǎn)子個數(shù)將導(dǎo)致泵體體積增大、內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，制造難度增加；改變幾何參數(shù)則降低了轉(zhuǎn)子的互換性。

針對非圓齒輪泵大排量導(dǎo)致的流量脈動問題，本文作者提出一種將ADAMS-Simulink聯(lián)合仿真與CFD(Computation Fluid Dynamics)數(shù)值模擬流場仿真相結(jié)合的優(yōu)化方法，以卵形齒輪泵為例展示優(yōu)化過程，為非圓齒輪泵的流量脈動平抑研究提供新思路。

1 高階橢圓齒輪泵特性分析

1.1 轉(zhuǎn)子傳動特性分析

非圓齒輪泵以一對高階橢圓齒輪為工作轉(zhuǎn)子。齒輪副節(jié)曲線為高階橢圓，具有封閉節(jié)曲線的齒輪副在嚙合過程中獲得周期性的變速比傳動[13]。為設(shè)計(jì)、制造方便，采用2個相同的高階橢圓齒輪作為一對共軛齒輪，齒輪副的傳動比函數(shù)為

(1)

式中：ω1為主動輪的角速度，rad/s；ω2為從動輪的角速度，rad/s；r1、r2分別為主、從動輪的節(jié)曲線；k為主、從動輪的偏心率；n為主、從動輪的階數(shù)；θ1為主動輪轉(zhuǎn)角。

高階橢圓齒輪轉(zhuǎn)子的偏心率和階數(shù)是影響齒輪副傳動特性的主要因素。基于控制變量法，分別以同階數(shù)不同偏心率、同偏心率不同階數(shù)的高階橢圓齒輪副為研究對象，分析傳動比隨時間的變化規(guī)律。圖1所示為高階橢圓齒輪泵轉(zhuǎn)子的傳動比曲線。

由圖1(a)可知：取偏心率為0.1，當(dāng)主動輪以恒定角速度轉(zhuǎn)動時，階數(shù)越大則傳動比曲線周期越短，頻率越快，幅值不變。由圖1(b)可知：以二階橢圓齒輪轉(zhuǎn)子為觀察對象，偏心率越大則傳動比曲線振幅越大，周期不變。

由式(1)可得從動輪角速度為

(2)

可知：從動輪角速度ω2為主動輪角速度ω1與傳動比i12的倒數(shù)之積。由于主動輪角速度ω1為定值，則傳動比幅值越大，從動輪角速度曲線波動范圍越大，傳動時振動和沖擊越強(qiáng)烈[14]。故在滿足工況要求的前提下，為提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的傳動平穩(wěn)性，應(yīng)盡量降低工作轉(zhuǎn)子的階數(shù)。

1.2 流量特性分析

以卵形齒輪副(n=2)為工作轉(zhuǎn)子，卵形齒輪泵的工作原理及內(nèi)部結(jié)構(gòu)與圓齒輪泵相似。當(dāng)轉(zhuǎn)子按圖2所示方向旋轉(zhuǎn)時，上側(cè)嚙合的兩齒輪相互脫離，形成低壓區(qū)，下側(cè)兩齒輪相互靠攏，形成高壓區(qū)。油液在大氣壓的作用下經(jīng)進(jìn)油口進(jìn)入上側(cè)泵腔內(nèi)，由于兩側(cè)的壓力差，油液隨著齒輪的旋轉(zhuǎn)被帶至下側(cè)出油口泵出。圖2所示為卵形齒輪泵內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意。

圖2 卵形齒輪泵內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Ovoid gear pump internal structure

卵形齒輪泵的平均流量計(jì)算式[15]為

(3)

式中：B為齒寬，mm；a1為中心距O1O2的一半，mm；h為齒頂高，mm。

卵形齒輪泵的瞬時流量計(jì)算式為

(4)

卵形齒輪節(jié)曲線無內(nèi)凹條件為：k≤1/3。當(dāng)k分別為0.1、0.2、0.3時，圖3所示為不同偏心率對應(yīng)的卵形齒輪泵理論瞬時流量曲線。

圖3 卵形齒輪泵瞬時流量曲線Fig.3 Ovoid gear pump instantaneous flow curves

瞬時流量的不等導(dǎo)致了齒輪泵的流量脈動。由圖3可知：轉(zhuǎn)子偏心率越小，齒輪泵的流量脈動越穩(wěn)定，但泵排量將受到限制。根據(jù)轉(zhuǎn)子傳動特性，從動輪角速度的幅值波動范圍將影響傳動的平穩(wěn)性。偏心率越大，則角速度幅值越大，此時將加大泵的振動和沖擊，一定程度上加劇流量脈動。

2 ADAMS與Simulink聯(lián)合仿真

為兼顧泵的排量及轉(zhuǎn)子傳動平穩(wěn)性，采用ADAMS與MATLAB/Simulink聯(lián)合仿真技術(shù)，以從動輪角速度為觀察對象，控制轉(zhuǎn)子角速度變化規(guī)律，使傳動更為平緩，從而在不改變轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上降低流量脈動。

2.1 聯(lián)合仿真模型

根據(jù)前述確定齒輪轉(zhuǎn)子參數(shù)如表1所示，基于SolidWorks建立三維模型。

表1 卵形齒輪參數(shù)Tab.1 Parameters of ovoid gears

將卵形齒輪三維模型導(dǎo)入ADAMS/View軟件模塊完成動力學(xué)仿真實(shí)時調(diào)控。為使建立的虛擬樣機(jī)模型具有與實(shí)際情況相近的物理性能，定義其材料、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量等重要屬性，建立卵形齒輪副機(jī)械系統(tǒng)模型如圖4所示。

圖4 ADAMS/View機(jī)械系統(tǒng)模型Fig.4 ADAMS/View mechanical system model

建立變量單元，在ADAMS/Control模塊建立機(jī)械系統(tǒng)模型與控制系統(tǒng)模型之間的輸入、輸出接口，以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的實(shí)時交互仿真。以主動輪角速度ω1為輸入信號變量，從動輪角速度ω2、角加速度為輸出信號變量。在Simulink中建立控制模塊，并與adams_sub機(jī)械系統(tǒng)模型進(jìn)行集成。隨后對Simulink聯(lián)合仿真控制參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，其中ADAMS動力學(xué)仿真模型為discrete(離散型)，仿真方式為interactive(實(shí)時交互)，可演示相應(yīng)機(jī)械系統(tǒng)的實(shí)時仿真動畫。聯(lián)合仿真的交互時間間隔設(shè)置為0.001 s，固定步長為0.001 s，仿真計(jì)算時間設(shè)定為10 s。

2.2 聯(lián)合仿真結(jié)果分析

PID是目前應(yīng)用最為廣泛的一種自動控制算法。其核心是通過整定PID控制器的比例、積分、微分參數(shù)以達(dá)到最優(yōu)輸出效果[16]。泵轉(zhuǎn)子為卵形齒輪，其運(yùn)動規(guī)律為變速比傳動，要使傳動過程更加平穩(wěn)，則采用PID控制器實(shí)時控制調(diào)節(jié)主動輪轉(zhuǎn)速，輸入與從動輪的運(yùn)動規(guī)律相反的速度信號。

PID角速度控制器的輸出為

(5)

式中：e(t)為反饋偏差；Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)。

首先不添加PID控制器，在聯(lián)合仿真模型的Simulink模塊輸入主動輪角速度180°/s，啟動實(shí)時仿真，得到從動輪角速度仿真曲線與理論曲線的對比如圖5所示，可以看到聯(lián)合仿真曲線整體運(yùn)動規(guī)律與理論曲線基本吻合，因此該聯(lián)合仿真結(jié)果具有可靠性。仿真曲線中存在少量脈沖，主要原因是在建模及裝配的過程中，卵形齒輪副的2個嚙合齒位之間存在一定間隙，使得在嚙合傳動過程中產(chǎn)生碰撞，導(dǎo)致脈沖。對卵形齒輪的運(yùn)動學(xué)特性分析和脈動優(yōu)化等方面可忽略此誤差的影響。

圖5 從動輪角速度曲線Fig.5 Angular velocity curves of driven wheel：(a)theory； (b)simulation

添加控制模塊，根據(jù)輸出信號對比例、積分、微分系數(shù)不斷地進(jìn)行在線調(diào)整，整定出最優(yōu)參數(shù)，從而得到合理的輸出結(jié)果。聯(lián)合仿真的控制系統(tǒng)模型如圖6所示。

圖6 ADAMS-Simulink聯(lián)合仿真控制系統(tǒng)Fig.6 ADAMS-Simulink co-simulation control system

PID控制器實(shí)時調(diào)控輸入信號，得到控制后的從動輪角速度曲線(如圖7所示)仍呈余弦波形式，對比圖5可以看到：添加PID控制后幅值波動范圍明顯減小，周期明顯增大，角速度變化頻率減小，傳動更為平緩，可減輕轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動。同時，角速度平均值無明顯改變，保證轉(zhuǎn)子減振緩沖的同時卵形齒輪泵排量不變。

圖7 添加PID控制后的從動輪角速度曲線Fig.7 PID controlled angular velocity curve of driven wheel

聯(lián)合仿真曲線存在微小波動，后期在數(shù)據(jù)處理過程對曲線進(jìn)行光滑處理，可忽略此處影響。

3 非圓齒輪泵的流場仿真

3.1 數(shù)值模型

對卵形齒輪泵進(jìn)行CFD數(shù)值模擬，需要建立封閉的齒輪嚙合流體域，即主從動齒輪的嚙合流域形成完整的封閉連通體積[17]。在徑向參數(shù)不影響仿真試驗(yàn)結(jié)果的情況下，采用二維流域模型。卵形齒輪泵網(wǎng)格模型如圖8所示，采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，對齒頂徑向間隙和嚙合間隙進(jìn)行局部網(wǎng)格加密。齒廓曲線嚙合處最小間隙為0.03 mm，則視該流域?yàn)槊芊鉅顟B(tài)。

圖8 非圓齒輪泵網(wǎng)格模型Fig.8 Mesh model of non-circular gear pump

采用Navier-Stokes(簡稱N-S)流動控制方程模擬計(jì)算流體流動現(xiàn)象。求解模型選用標(biāo)準(zhǔn)κ-ε湍流模型，壓力-速度耦合方程采用Simple算法進(jìn)行求解[18]。標(biāo)準(zhǔn)κ-ε模型是一種高雷諾數(shù)模型，在旋轉(zhuǎn)類型的液壓泵中，流體介質(zhì)類型決定了質(zhì)點(diǎn)的速度和壓力，因此需要在高雷諾數(shù)下計(jì)算有效液體黏度的湍流模型。根據(jù)實(shí)際工況，齒輪泵計(jì)算域的進(jìn)口邊界條件為壓力入口，設(shè)置為一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；出口邊界條件為壓力出口，設(shè)置為2.5 MPa。齒輪泵內(nèi)流動介質(zhì)密度設(shè)置為880 kg/m3，黏性系數(shù)為1.008 7×10-3Pa·s。

由于復(fù)雜的邊界條件難以直接輸入給Fluent，因此需要通過用戶自定義函數(shù)功能(User Define Function，UDF)擴(kuò)展功能。定義各齒輪齒廓為運(yùn)動邊界，使用UDF函數(shù)設(shè)定，程序如下：

#include "udf.h"

DEFINE_CG_MOTION(gear1_motion,dt,vel,omega,time,dtime)

{omega[2]= 3.141592654;}

DEFINE_CG_MOTION(gear2_motion,dt,vel,omega,time,dtime)

{omega[2]=-3.141592654* (1-0.2*0.2)/(1+0.2*0.2-2*0.2*cos(2*3.141592654*time));}

轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)45°時卵形齒輪泵內(nèi)部流速云圖如圖9所示。

圖9 轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)45°時卵形齒輪泵內(nèi)部流速云圖Fig.9 Internal flow velocity cloud map of ovoid gear pump with rotor rotation 45°

動網(wǎng)格模型重構(gòu)方法采用彈性光順法和局部網(wǎng)格重構(gòu)法，添加出口流量監(jiān)測，對流場仿真模型進(jìn)行瞬態(tài)計(jì)算得到齒輪泵出口瞬時流量，與式(4)計(jì)算得到的理論瞬時流量曲線對比如圖10所示，可以看到流量逐漸穩(wěn)定后其變化規(guī)律基本一致。

圖10 仿真瞬時流量與理論瞬時流量曲線Fig.10 Simulation instantaneous flow rate and theoretical instantaneous flow rate curves

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

由于Fluent與Simulink沒有直接的數(shù)據(jù)交互接口，為精確模擬PID控制器控制后流場中的轉(zhuǎn)子變速比傳動關(guān)系，驗(yàn)證該方案的脈動平抑效果，將控制后的齒輪副角速度參數(shù)導(dǎo)出，使用Visual Studio平臺進(jìn)行C編譯，作為瞬態(tài)模型的運(yùn)動邊界條件在Fluent中調(diào)用，實(shí)現(xiàn)Simulink與Fluent數(shù)據(jù)耦合。部分程序如下：

DEFINE_CG_MOTION(gear1_motion,dt,vel,omega,time,dtime)

{int ndelT,nT;

real ndel,v;

nT=time/T;

time=time-nT*T;

ndelT=time/delT;

ndel=ndelT*delT;

v=get_v_from_dat(ndel);

omega[2]=v*M_PI/180*(1+k*k-2*k*cos(2*phi))/(1-k*k);

phi+=v*M_PI/180*(1+k*k-2*k*cos(2*phi))/(1-k*k)*dtime;}

DEFINE_CG_MOTION(gear2_motion,dt,vel,omega,time,dtime)

{int ndelT,nT;

real ndel,v;

nT=time/T;

time=time-nT*T;

ndelT=time/delT;

ndel=ndelT*delT;

v=get_v_from_dat(ndel);

omega[2]=-v*M_PI/180;}

圖11所示為平抑前后的瞬時流量曲線，可以看出：平抑后流量幅值明顯降低，曲線脈動更為平穩(wěn)，同時平均流量沒有明顯改變。

圖11 平抑前后齒輪泵出口瞬時流量對比Fig.11 Comparison of instantaneous flow at the outlet of gear pump before and after flattening

引入流量脈動率σ作為流量脈動的評價指標(biāo)：

(6)

將圖10瞬時流量曲線數(shù)值代入式(6)中，得到平抑前的流量脈動率為σ1=(3.069 92-2.126 07)/2.390 11=39.489 8%；平抑后的流量脈動率為σ2=(2.725 49-2.499 3)/2.579 76=8.767 9%，相較平抑前下降了約30.72%，流量波動得到明顯的改善。

4 結(jié)論

(1)通過理論分析得出高階橢圓齒輪泵轉(zhuǎn)子的傳動特性，影響轉(zhuǎn)子傳動平穩(wěn)性的主要因素為偏心率及其階數(shù)。

(2)以卵形齒輪泵為研究對象分析其流量特性，得出瞬時流量脈動與偏心率的關(guān)系；基于Fluent動網(wǎng)格技術(shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬，驗(yàn)證了卵形齒輪泵的瞬時流量脈動規(guī)律與理論值相符合。

(3)提出一種基于ADAMS與Simulink聯(lián)合仿真實(shí)現(xiàn)齒輪泵轉(zhuǎn)子的平穩(wěn)傳動、緩沖減振，從而減小齒輪泵流量脈動的方法；聯(lián)合仿真方法有效降低了齒輪轉(zhuǎn)子傳動時產(chǎn)生的振動和沖擊。

(4)基于Visual Studio實(shí)現(xiàn)Simulink與Fluent 的數(shù)據(jù)耦合。Fluent數(shù)值模擬結(jié)果表明：卵形齒輪泵轉(zhuǎn)子平穩(wěn)傳動后的流量脈動率下降了約30.72%，該方法可在不改變齒輪泵內(nèi)部結(jié)構(gòu)的情況下平抑流量脈動。