化“隱”為明

朱超

摘 要：隱含條件在初中題目中比較常見，屬于一種特殊的條件，極具隱蔽性.隱含條件雖然在題目中并未明確給出，但卻可利用題目中的關鍵詞語推斷而出，以便于幫助學生打開解題思路.本文就以此出發，結合大量的數學題目，針對初中數學解題中隱含條件的挖掘途徑進行了詳細的研究，具備一定的參考價值.

關鍵詞：初中數學；隱含條件；解題；挖掘路徑

顧名思義，隱含條件就是隱藏在題目內部，出題者常常并未將其明確給出，而是將其隱藏在題目之中，需要解題者通過分析、推理、轉換等方式才能從中獲得.在日常解題中，隱含條件往往是“突破口”，是學生正確、高效率解答題目的關鍵.鑒于此，初中數學教師在日常解題教學中，應立足于當前數學題目靈活多變的現狀，引導學生在扎實數學基礎知識的同時，有意識地引導學生掌握隱含條件的挖掘方法，能夠借助聯想、比較分析、推理、轉換等數學方式，促進未知到已知、隱含到明顯，最終在隱含條件的輔助下，形成正確的解題思路.

1 靈活挖掘隱含條件，助力數學解題

隱含條件是初中數學解題的一大“利器”，是打開學生解題思維的“鑰匙”.同時，隱含條件又極具隱蔽性，常常存在于各個“地方”，如：已知條件、數學概念和性質、數學公式、數學圖形等，給學生的識別和應用帶來了極大的難度.鑒于此，筆者就結合大量的題目，針對隱含條件的具體挖掘路徑進行了如下分析：

1.1 基于數學概念挖掘隱含條件

鑒于初中數學的特點，數學概念是學習的基礎，同時也是隱含條件的“藏身之處”.隨著數學題目發展，多數題目中的隱含條件都回歸到了基本的數學概念與定義中.通常這種類型題目的難度系數比較低，但也是學生最容易忽視從而導致錯誤的題目.

例2 已知關于x的一元二次方程（a²-2）x²-（4a+2）x+1=0存在兩個不相等的實數根，求a的取值范圍.

解析：這題也屬于基礎題目范疇，難度系數比較小，但依然有部分學生會出現失分的現象.主要是學生看到題目中“有兩個實數根”，就直接運用了“判別式大于零”進行求解，忽視了一元二次方程在定義中隱含的條件，即：二次項系數不能為零.鑒于此，在求解時應同時滿足判別式大于0、二次項系數不等于0兩個條件，方可得到正確的答案.

總結上述兩道例題，難度系數非常低，但卻是學生容易出現錯誤的題目，主要原因就是學生在做題時，忽視了數學概念、定義中的隱含條件，最終出現了考慮不周全的現象，導致解題出現錯誤.鑒于此，在日常的教學中，不僅要重視數學概念教學，還要引導學生圍繞數學概念進行深入分析，了解每一個數學概念的細節、每一個約束條件等，并圍繞數學概念進行例題講解、變式訓練等，以便于學生真正完成數學基礎概念的理解、深化等^［1］.

1.2 基于代數公式挖掘隱含條件

代數占據了初中數學的半壁江山，代數公式不僅是學生解題的關鍵，也是隱含條件的“藏身之處”.尤其是在很多數學題目中，都包含了大量的數學公式信息，并將題目中的關鍵條件隱藏于此.鑒于此，在引導學生挖掘隱含條件，解決數學問題時，應著眼于相關的數學公式，以此作為切入點，挖掘其中的隱含條件.

例3 已知（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=0，求a²+b²=__________.

解析：這一題目難度系數比較低，但多數學生在解題時，常常出現各種各樣的錯誤.主要原因就是在解題時，忽視了隱含條件的挖掘，而是直接采用了換元法：令a²+b²=x，則（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=x²-3x-10=0，通過解方程，即可得出x=5或x=-2，于是很多學生就直接將這兩個答案寫在試卷上.但實際上來說，這樣解題是錯誤的，因為學生在解題時，忽視了數學公式中的隱含條件，在a²+b²=x中，x的定義域是x≥0，因此x=5符合題意，x=-2不符合題意，應舍去.

解析：乍一看這一題，難度系數比較高，但只要通過分析就會發現，題目中已經給出了函數y的代數式，且在求解的過程中，唯有結合相關的數學公式，充分挖掘題目中的隱含條件，即：x²-1≥0，1-x²≥0，x³+1≠0，學生才可在充足的解題條件中，將所有的不等式聯立起來，最終經過求解得出x=1時，y=0，因此，2^{3x+1 990y}=8.

綜合這兩道數學題目，我們發現隱含條件都隱藏在既定的數學公式中，學生在解題時，唯有緊緊圍繞題目中涉及到的數學公式，充分挖掘其中的隱含條件，學生才能準確地解答問題.鑒于此，在日常教學中，教師必須要高度關注數學公式教學，引導學生在數學公式的深刻學習中奠定堅實的數學解題基礎^［2］.

1.3 基于圖形挖掘隱含條件

鑒于數學學科的特點，“數”和“形”是數學學習的兩大組成部分，且兩者之間相輔相成、互為促進.尤其是在數學解題的時候，許多條件都蘊含在圖形中，學生唯有仔細觀察圖形，最大限度挖掘其中蘊含的條件，方能在以形助數、以數促形中，明確數學解題思路.否則，一旦忽視了數學圖形的研究，就會導致隱含條件挖掘不夠，從而學生在解題時就會步步受限.

例5 如圖1所示，已知圓O的半徑為3 cm，B為圓外的一點，OB與圓相交于A點，已知AB=OA，點P到點A的圓上距離為π cm，對直線BP與圓O之間的位置關系進行判斷.

解析：題目已知條件中，已經明確了圓的半徑和圓弧AP之間的距離，學生要想進行計算，還應圍繞圓弧AP和圓周長之間的關系進行探究，進而對三角形AOP的形狀進行證明，得出其是一個等邊三角形，并以此進行求解.而這一解題思路的關鍵，就是隱藏在圖形中有關邊的關系，即根據題目中的已知條件可得出圓的周長為6π cm.∵點P到點A的圓上距離為π cm，∴圓弧AP所對應的圓心角∠O=60°.又OP=OA，∴△POA為等邊三角形，即AB=AP.在三角形PAB中，∵AB=AP，∠PAB=120°，∴∠ABP=∠APB=30°.因此，在三角形OPB中，∠OPB=90°，即直線BP與圓O之間的位置關系是相切.

基于上述條件，就針對四個結論進行驗證.針對①來說，可將x=1帶入其中進行驗證，即可得到二次函數的最小值為-4a，因此結論①正確；針對②來說，-1≤x₂≤4，當x₂=4時，y₂存在最大值，即y₂的最大值為a×（4+1）×（4-3）=5a，因此-4a≤y₂≤5a，所以本結論錯誤；針對③來說，若是要y₂＞y₁，可直接結合圖像得出x₂＞4或者x₂＜-2，本結論錯誤；針對④來說，因為y=ax²+bx+c=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，因此得出b=-2a，c=-3a，將其帶入公式中，結合a≠0的條件，得出x₁=-1、x₂=3，因此本結論錯誤.

結合上述兩道例題即可得知，多數數學題目已經將大量的條件隱藏在圖像中，學生在解題的時候，唯有認真觀察圖像，充分挖掘題目中隱藏的條件，才能充分發揮隱藏條件的價值，幫助學生迅速形成明確的解題思路^［3］.

1.4 基于題設挖掘隱含條件

在初中數學解題中，題設條件不僅僅是向學生傳達信息的重要載體，同時在題設中的關鍵之處，也為學生隱藏了大量的隱含條件.在這種情況下，學生在審題的時候，一旦稍有忽略，錯過題目中的關鍵字眼，就會導致其在解題時，因為無法挖掘其中的隱含條件，導致其陷入到解題困境中.

例7 已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖像經過點（-1，7），并且在x軸上截取的線段長為3，其圖像的對稱軸為x=1，求該二次函數的解析式.

可見，在這一數學題目解答中，隱藏條件就蘊含在數學關系中，學生唯有具備扎實的數學知識，從已有的數學關系出發，最大限度挖掘其中隱藏的條件，才能形成正確的解題思路.

2 隱含條件在初中數學解題中應用價值總結

通常在數學考試中，不會直接將所有的條件都清晰地告訴學生，而是給學生設置了重重障礙.尤其是在新課程改革背景下，教師在教學中還承擔著培養和發展學生數學核心素養的重任.在這一背景下，數學考試題目的形式也隨之發生轉變，致使隱含條件越來越多.面對這一現狀，學生在解題之前，唯有具備扎實的基礎知識體系，并進過認真審題、分析和推理等，將題目中蘊含的條件找出來，才能在此基礎上形成正確的解題思路.

可以說，數學新課程改革背景下，培養學生的隱含條件發掘能力，具備十分重要的價值.首先，有助于提升學生的數學解題能力.通過大量的例題證明，隱含條件是解題的關鍵，直接決定了學生的解題正確率.因此，在日常數學教學中，通過有意識的訓練，學生在解題的時候就會形成一種良好的習慣，不再局限于題目的表層含義中，而是認真分析題目內涵，有意識地挖掘題目內部的隱含條件，使其在學習的過程中，逐漸形成了良好的解題習慣；其次，有助于訓練學生的思維.初中階段恰恰是思維培養的關鍵階段，而數學學科又被稱之為“思維體操”，不僅僅對學生的數學思維提出了很高的要求，也是訓練學生思維的最佳載體.隱含條件的挖掘過程，也是學生思維發展的過程，學生在要想將隱藏在題目中的隱含條件挖掘出來，必須要經過一系列的觀察、推理、分析等活動，而這些活動均屬于思維活動的范疇，也促使學生在挖掘隱含條件的過程中，促進數學思維的發展；最后，有助于幫助學生建立其系統化的知識體系，推動知識的遷移和應用.數學知識點之間密切相關，學生在挖掘隱含條件時，常常會產生“以點帶面”的效果，將相關的數學知識點串聯起來，并在此基礎上通過知識遷移，運用其解決相關的問題.可以說，學生在挖掘隱含條件的過程中，也在很大程度上提升了學生的數學學習質量^［5］.

3 結束語

綜上所述，在初中數學解題中，隱含條件是解題的“突破口”，能否精準找到題目中的隱藏條件，是影響學生正確解題的關鍵性因素.但是隱藏條件的尋找也并非易事，需要將其蘊含到日常教學中，促使學生在解題訓練中，逐漸習得這一方法與能力.鑒于此，作為一名優秀的初中數學教師，在日常解題教學時，不僅要從思想觀念上重視隱含條件，還應結合不同類型的題目，引導學生對隱含條件進行歸類，并借助有意識的訓練，使得學生真正掌握這一技能，全面提升學生自身的數學解題能力.

參考文獻：

［1］陳海平.化“隱”為明巧解題——談隱含條件在初中數學解題中的價值［J］.數理化解題研究，2022（17）：5961.

［2］張翔.淺析初中數學解題中隱含條件的應用［J］.數理化解題研究，2022（11）：1416.

［3］濮維.談隱含條件在初中數學解題中的重要作用［J］.數學之友，2022，36（4）：7678.

［4］王志軍.發掘隱含條件 助力數學解題——初中數學解題教學中隱含條件的應用［J］.數理化解題研究，2021（32）：67.

［5］王從利.初中數學解題教學中隱含條件的應用思考［J］.數學大世界（上旬），2021（11）：2123.