基礎與素養并重，過程與方法同行

李心軍 魏柏婷

摘 要：圓錐曲線問題在高考中既是重點也是難點，其面積最值問題更是熱點.本文探究2023年高考數學全國甲卷理科第20題的多種解法，并在此基礎上溯源試題的命題背景，分析試題對解析幾何中圓錐曲線教學的引導作用，提出一些教學建議.

關鍵詞：圓錐曲線；解法探究；教學建議

3 試題的變式

【變式1】設F為拋物線C：y²=4x的焦點，M，N為拋物線C上的兩點，且以M，N為直徑的圓過點F，求當△MNF面積取最小值時，直線MN的方程.

【變式2】過拋物線E：y²=2px（p＞0，p為常數）的焦點F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點A，B和C，D，求四邊形ACBD面積的最小值.

以上變式問題用上述方法類似可解，同時此方法可以推廣到橢圓或雙曲線中.

4 近年高考中的面積問題

在2019—2022年高考試題中，以面積為命題點的試題數量達到7個以上，解答題和選填題都有，例舉如下：2022新高考全國Ⅰ卷第21題第（2）問；2021年全國乙卷理科第21題第（2）問；2020年新高考全國Ⅱ卷數學第21題第（2）問；2019年全國Ⅲ卷理科第21題；2019年全國Ⅱ卷理科第21題第（2）問；2021年全國甲卷理科第15題：2020年課標Ⅰ卷文科第11題.說明圓錐曲線的面積問題是高考的熱點以及難點.

5 教學建議

圓錐曲線中與焦點相關的面積計算問題的求解策略蘊含了解析幾何的核心思想——幾何問題代數化，用坐標、向量、方程、函數表示問題中涉及的幾何元素，利用函數與方程思想、基本不等式、極坐標與參數方程等求解.在借助幾何圖形，尋求“最值”的特殊位置的探究中，立意培養學生的直觀想象素養；在建立目標函數的過程中需要進行“動因”分析，立足培養學生的邏輯推理素養；在建立了相應的目標函數后就要合理選擇運算方法，提高解題效率，立足培養學生的數學運算素養；通過拋物線中與焦點三角形面積最值問題的求解策略的探究，在反思過程中讓學生逐漸形成此類題目的一般解法，立足培養學生的數據處理素養；通過試題的求解過程需要直觀想象，邏輯推理，數學運算，數據處理等素養相互發揮作用才能完成，而邏輯推理貫穿于課堂教學的始終，并與其他核心素養相互融合發揮作用，從而更好地培養學生的綜合能力.對此，提出如下教學建議.

5.1 立足基礎——以定義為根基，凸顯解題通性通法

高考圓錐曲線試題大多屬于中檔題或壓軸題，解答題中第一問主要考察圓錐曲線的相關定義和其它基礎知識，總體難度不高；第二問常見面積問題、最值問題、定值定點問題等，雖然計算量比較大，但離不開圓錐曲線的通性通法，一般都有章可循——幾何問題代數化.所以圓錐曲線的教學應以定義為根，以公式為本，以數學思想方法為魂，重視通性通法.

5.2 強化綜合——以綜合為主導，感悟數學思想方法

高考圓錐曲線試題中，無論是選擇題還是填空題，對學生綜合能力的考查要求較高，雖然整體思路有章可循，但計算量以及數學思想方法的選擇卻很重要，恰當地選擇合適的計算方法，則可達到事半功倍的效果.學生需加強限時訓練，采用靈活多樣的思維方式，努力提高解答的準確性；需要靈活運用數形結合、分類與整合、化歸與轉化、函數與方程等數學思想以及配方法、換元法等方法，把握內在聯系，尋求變化發展，有效提升思維能力.

5.3 拓展思維——以思維為目標，發展數學核心素養

“數學思想方法是思維的工具，是形成數學能力

的必要條件.”這正是數學三會里用“數學思維來思考世界”的完美體現；數學是思維的產物，數學的教學過程實則是培養學生思維的過程，在新高考命題趨勢中也出現了“無思維，不命題”的重要趨勢.因此，在新課程的大背景下，現代數學教育觀的核心是提升學生的數學思維和數學素養.在圓錐曲線的教學過程中，則應著眼于對學生數學思維以及直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養的培養.

參考文獻：

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［Ｍ］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］趙思林，紀定春，盧勇剛.例談高考數學創新型試題的特點［J］.中學數學，2019（5）：3235.