探尋運算出路 培養運算素養
——以一份高中畢業班適應性練習卷若干試題為例

何 燈 林新建

福建省福清第三中學 (350315)；福建教育學院數學教育研究所 (350000)；福建省福清市教師進修學校 (350300)

數學運算是“會用數學思維思考世界”的重要體現,數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的過程.在學習過程中,大部分學生存在拿到題目沒有思路或是思路混亂、繁雜的現象,從而導致數學學習困難.學生為什么總會在運算上出問題呢?總結原因就是運算的方向沒有探尋到位,以致思維混亂,不懂如何從上一步進行到下一步.教師在常態課堂教學中應多關注學生的運算過程,指導和幫助學生為“運算”找出路,通過運算教學促進學生思維的發展,從而形成規范化思考問題的品質,發展學生的數學運算素養.[1]

本文以福建省2023屆高中畢業班適應性練習卷(福建省省檢)若干典型試題為例,就解題過程中如何探尋運算出路做一探析,與同仁交流.

1、明晰運算對象,探尋運算出路

運算對象是解決問題的前提,在進行數學運算時,首先要看清、看準運算對象,認真閱讀、理解運算對象的相關條件和結論,完成運算前的預備工作;其次,要深層次理解運算對象,只有這樣,才能夠找準問題解決的突破口,達到降低思維難度,簡化運算的目的.

例1 (第6題,單選)中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻,很好地展示了國家形象、增進了國際友誼,多次為祖國贏得了榮譽．現有5支救援隊前往A、B、C等3個受災點執行救援任務,若每支救援隊只能去其中的一個受災點,且每個受災點至少安排1支救援隊,其中甲救援隊只能去B、C兩個受災點中的一個,則不同的安排方法數是( ).

A．72 B．84 C．88 D．100

思路一：(正面求解)甲去了B,考慮剩下4個人的分配情況.由于A、B、C三個受災點,B較為特殊(需要滿足甲在其中),故考慮先對其分配.

綜上,當甲去了B,共有50種結果,同理,當甲去了C,也有50種結果,合計100種結果,故選D.

評析：思路一對運算對象的理解停留在淺層次階段,故需要分較多的類別和較多的步驟來求解.思路二深層次理解了運算對象的特點,關注到甲去A、B、C三個受災點是等可能的,從整體分配入手,只需分兩類討論即可實現問題的求解,抓住了問題的本質,簡化了運算的過程.

2、關注選項差異,探尋運算出路

對于選擇題,由其題型的特點,選項中蘊含正確的答案,故可以嘗試從選項入手,考量各個選項之間的差異與聯系,從差異處入手或從關聯處著眼,能夠探尋運算的方向,達成快速解題的目的.

A B

分析：本題考查函數的奇偶性、函數的零點、利用導數研究函數的性質.關注選項的差異,可以從奇偶性的判斷(f(x)是奇函數)排除掉A、B兩個選項.針對C、D兩個選項,可以從特殊點位置的函數值或圖象在特殊點處的單調性兩個方向入手,探尋問題求解出路.

評析：求解本題,除了關注到選項與選項之間比較宏觀(圖象的對稱性)的差異外,還需要關注到選項與選項之間比較細微的差異(如:特殊點位置的函數值,零點所處位置與圖中已知刻度的長短比較,特殊點位置的圖象的單調性等等),而這些“細枝末節”正是問題求解的關鍵點所在,從這些關鍵點出發,即可探尋出問題的突破口.

3、基于思想方法,探尋運算出路

數學思想是處理數學問題的指導思想和基本策略,是數學的靈魂.在解題教學過程中,教師應有意識的引導學生了解和掌握數學思想,靈活地借助數學思想方法解題,從而避免復雜的運算,優化解題過程,降低解題難度．

例3 (第15題)已知函數f(x)=

思路三：(數形結合)令f1(x)=ax,f2(x)=

圖1

評析：思路一分離參數需要分別求導兩次,并且需要借助洛必達法則求解;思路二借助不等式放縮,需要學生熟悉不等式鏈lnx≤x-1

4、依循圖形特征,探尋運算出路

數無形,少直觀,借助圖形能夠直觀分析題中數量之間的關系,豐富表象,引發聯想,啟迪思維.解題者對題目的圖形特征獲取的越具體,越能夠在紛繁復雜的解題路徑中探尋到一條捷徑,簡化運算,實現問題的簡潔求解.

例4 (第11題,多選)已知拋物線C的焦點為F,準線為l,點P在C上,PQ垂直l于點Q,直線QF與C相交于M,N兩點．若M為QF的三等分點,則( ).

分析：本題考查拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質.本題的求解需要對“M為QF的三等分點”這一條件進行轉化,可以通過三角形的相似轉化為各點坐標的關系,求得各點坐標,在此基礎上實現問題的求解.事實上,通過挖掘圖形特征,可以發現其中蘊含的角度關系,在此基礎上,可實現問題的簡潔求解.

思路二：不妨設拋物線C的標準方程為y2=2px(p>0),如圖2過點M作MT⊥l.由M為QF的三等分點,結合拋物線定義可得

圖2

評析：相較兩個思路,前者從坐標入手,運算量較大,后者通過挖掘圖形的特征,厘清了各角度之間的關系,由此得到各線段的長度關系,大大簡化了運算.

例5 (第21題)已知圓A1:(x+1)2+y2=16,直線l1過點A2(1,0)且與圓A1交于點B,C,BC中點為D,過A2C中點E且平行于A1D的直線交A1C于點P,記P的軌跡為Γ．

(1)求Γ的方程;

(2)如圖3,坐標原點O關于A1,A2的對稱點分別為B1,B2,點A1,A2關于直線y=x的對稱點分別為C1,C2,過A1的直線l2與Γ交于點M,N,直線B1M,B2N相交于點Q．請從下列結論中,選擇一個正確的結論并給予證明．

圖3

①△QB1C1的面積是定值;②△QB1B2的面積是定值;③△QC1C2的面積是定值．

分析：問題(1)的求解,需要考生能夠根據題設條件,提取有用信息,結合圖形特征,得|PA1|+|PA2|=|PA1|+|PC|=|A1C|=4>|A1A2|,從而根據橢圓定義得Γ的方程.問題(2)需要考生在三個結論中選擇正確的結論進行證明,這需要考生充分考量題設條件,通過觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括,提取出對問題求解有用的信息.首先,通過觀察與比較,要使得△QB1C1的面積是定值,Q點到直線B1C1的距離相等;要使得△QB1B2的面積是定值,Q點到x軸的距離相等;要使得△QC1C2的面積是定值,Q點到y軸的距離相等.其次,通過分析,如圖4,將M,N兩點關于x軸對稱,得Q與Q1關于x軸對稱,從而可得Q與Q1到直線B1C1的距離不相等,故的面積不是定值,Q點到y軸的距離相等.將M點逐漸靠近B1,可得Q2逐漸遠離x軸,由此可得Q點到x軸的距離不相等,綜合上述分析,可以猜測△QC1C2的面積是定值.最后,要證明Q點到y軸的距離相等,借助圖形,抽象概括出解題方向:直線B1M,B2N的交點橫坐標為定值,即聯立二者方程,消去y后,得到橫坐標x的表達式為定值.或者,通過MN垂直x軸這一特殊情況,計算出Q點坐標為(-4,-3),將x=-4代入直線B1M,B2N方程,驗證一般情況下二者的縱坐標相等,以此來簡化整個運算過程.

圖4

評析：通過對圖形特征的抽象,能夠幫助我們快速探尋到解題的方向.老師們在課堂教學中,應引領學生在“看”上下功夫,直觀出圖形特征,感知出幾何性質,在此基礎上,培養學生理性思維能力,發展學生的數學核心素養.

當然,數學運算素養的形成和發展并非一蹴而就的,這需要長期的浸潤,需要教師在數學問題分析過程中,不僅要指出運算對象,指明運算法則,指引運算方向,還要探究運算方法,規劃運算流程,更要充分展示運算細節．尤其是關鍵運算步驟,還要凸顯“特寫”鏡頭．只有通過具體案例,經歷實際操作,讓運算過程看得見、摸得著、說得清、悟得深,才能讓數學運算素養落地生根,生根發芽.[2]