基于“四個(gè)理解”的教學(xué)實(shí)踐探究
——以“圓錐曲線的共同特征”為例*

涂文娟 趙啟正 易桂生

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (330022)

1 引言

2017年4月,在“以核心素養(yǎng)為綱的數(shù)學(xué)教學(xué)改革”的研討會(huì)上,章建躍博士完善了“四個(gè)理解”,即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué).基于“四個(gè)理解”設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀材料”是用好教材、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑.近日,筆者有幸在《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念的“同課異構(gòu)”》教研活動(dòng)中設(shè)計(jì)并展示了高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線的共同特征”示范課.現(xiàn)把這節(jié)課的教學(xué)過程及思考整理成文,以饗讀者.

2 “四個(gè)理解”下的教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

基于“四個(gè)理解”設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容及要點(diǎn)如下:

3 “四個(gè)理解”下的教學(xué)實(shí)踐

3.1 理解數(shù)學(xué),把握內(nèi)容本質(zhì)

(1)理解教學(xué)內(nèi)容

當(dāng)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解停留在表層時(shí),對(duì)課堂上所學(xué)的概念往往都表述不清楚.所以,在正式授課之前,教師要做好“教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)理解”[1],把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì),設(shè)計(jì)教學(xué),讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容,啟發(fā)學(xué)生思維發(fā)展.

如何把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)呢?張奠宙教授指出,“一個(gè)知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)包括數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程;數(shù)學(xué)思想方法的提煉;數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)等諸多方面[2]”.除了知識(shí)技能,還應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想、揭示知識(shí)結(jié)構(gòu)等等.

“圓錐曲線的共同特征”選自北師大(2019年)版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章第四節(jié)閱讀材料.主要是介紹共同特征以及統(tǒng)一定義,“平面上到定點(diǎn)距離與到定直線(定點(diǎn)不在定直線上)距離比值為常數(shù)k(>0)的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線”.

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容,其本質(zhì)思想是“用代數(shù)方法研究幾何問題”.“圓錐曲線”作為解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,是滲透其本質(zhì)思想的重要載體.所以,本節(jié)課的重點(diǎn)在于如何將“共同特征”及“統(tǒng)一定義”等內(nèi)容揭示出來(lái),同時(shí)滲透知識(shí)點(diǎn)背后蘊(yùn)含的類比、數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)法等數(shù)學(xué)思想.

(2)梳理教學(xué)主線

教材上本章是按照橢圓、雙曲線、拋物線的順序展開,教學(xué)遵循“曲線的幾何特征——曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程——通過方程研究曲線的性質(zhì)一應(yīng)用”,并把橢圓作為重點(diǎn),強(qiáng)調(diào)它的典型示范作用,注重?cái)?shù)學(xué)思想和基本方法的引領(lǐng)性[3].”

教學(xué)主線是教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂,貫穿始終.本節(jié)課的教學(xué)主線依照“直觀感知遷移類比歸納概括代數(shù)驗(yàn)證”,知識(shí)技能(定理、驗(yàn)證)和數(shù)學(xué)思想(類比、數(shù)形結(jié)合)形成兩條線,從導(dǎo)入(發(fā)現(xiàn)問題、提出問題),到猜想(分析問題),再到探究、驗(yàn)證(解決問題),脈絡(luò)清晰.與前面學(xué)習(xí)相似,同樣把橢圓作為重點(diǎn).其主線關(guān)系如下:

(3)把握內(nèi)容本質(zhì)

本節(jié)課的研究目標(biāo)是三類圓錐曲線的共同性質(zhì),其內(nèi)容本質(zhì)是抽象概括圓錐曲線統(tǒng)一的定義形式,滲透解析幾何的本質(zhì)思想,感悟數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一美.在整個(gè)過程中,先借助GGB動(dòng)畫展示改變距離比值k(k>0)形成的動(dòng)點(diǎn)軌跡,依靠“形”發(fā)現(xiàn)共同特征;再數(shù)形結(jié)合從代數(shù)角度探究、驗(yàn)證共同特征.

3.2 理解學(xué)生,把握重難點(diǎn)

(1)把握教學(xué)重難點(diǎn)

理解學(xué)生,首先要清楚學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式,把握整節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn),這是教學(xué)最有力的腳手架.

本節(jié)課之前,學(xué)生已經(jīng)會(huì)用代數(shù)眼光去看待幾何問題.比如說(shuō),在研究“直線與圓有多少個(gè)交點(diǎn)”問題時(shí),會(huì)想到聯(lián)立直線與圓的方程,通過判斷方程解的個(gè)數(shù)解決問題.通過本章前面的學(xué)習(xí),感悟到“通過幾何建立直觀,通過代數(shù)建立表達(dá)是其基本理念[3].”

但前面的學(xué)習(xí)屬于三類圓錐曲線的個(gè)性研究,學(xué)生不易猜想出共同特征,更不易聯(lián)想到用方程驗(yàn)證共同特征.所以本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是掌握?qǐng)A錐曲線的共同特征和統(tǒng)一定義,從“圖形”和“代數(shù)”兩個(gè)角度體會(huì)共同特征,感悟類比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,再次領(lǐng)會(huì)解析幾何的本質(zhì)—用代數(shù)方法研究幾何問題.教學(xué)難點(diǎn)為應(yīng)用方程從代數(shù)角度驗(yàn)證橢圓、雙曲線的共同特征,并抽象概括.

(2)厘清教學(xué)目標(biāo)

理解學(xué)生,便于我們厘清教學(xué)目標(biāo).示范課的教學(xué)目標(biāo)以知識(shí)技能為載體將核心素養(yǎng)滲透其中,使得教學(xué)目標(biāo)可觀.其目標(biāo)為:

①了解本節(jié)課學(xué)習(xí)對(duì)象、主要學(xué)習(xí)內(nèi)容、研究方法等;

②經(jīng)歷生成圓錐曲線的過程,從幾何直觀上初步感知圓錐曲線的共同特征;借助幾何直觀感知當(dāng)比值k改變時(shí),圓錐曲線形狀也發(fā)生相應(yīng)改變,構(gòu)建直觀模型,發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng);

③掌握焦半徑、準(zhǔn)線等概念,經(jīng)歷化簡(jiǎn)橢圓焦半徑的過程,體會(huì)應(yīng)用方程驗(yàn)證圓錐曲線的共同特征,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng);

④用統(tǒng)一的代數(shù)式抽象概括圓錐曲線的共同特征,體會(huì)三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換,感悟數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3.3 理解技術(shù),優(yōu)化課堂教學(xué)

(1)優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較為抽象,信息技術(shù)可作為應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的一種認(rèn)知工具和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一部分,應(yīng)用數(shù)字、圖形和符號(hào),為抽象的數(shù)學(xué)理論構(gòu)建一個(gè)直觀、動(dòng)態(tài)的模型.如何展示當(dāng)距離比值k(k>0)變化時(shí)點(diǎn)的軌跡?數(shù)字與圖形變化的同步性,需要借助作圖工具.筆者借助GGB展示動(dòng)點(diǎn)的軌跡生成過程,首先拉近了與學(xué)生的距離,營(yíng)造輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境;同時(shí)將“不可言傳”的內(nèi)容“可視化”.體現(xiàn)數(shù)學(xué)味的同時(shí),解決了“粉筆+黑板”不能或者不便于解決的教育教學(xué)問題,優(yōu)化了教學(xué)設(shè)計(jì)(如圖1).

圖1 GGB動(dòng)畫展示動(dòng)點(diǎn)軌跡

圖2 三類圓錐曲線的定義

圖3

圖4

圖5

(2)遵循學(xué)生思維

示范課上,借助作圖工具從幾何直觀上展示隨著距離比值k的慢慢增大,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡依次是橢圓、拋物線、雙曲線,再抽象概括得到圓錐曲線的共同特征,最后代數(shù)驗(yàn)證.這樣的順序符合學(xué)生的認(rèn)知過程,先幾何后代數(shù)、先具體后抽象,遵循了由淺入深的思維發(fā)展.

3.4 理解教學(xué),發(fā)展核心素養(yǎng)

(1)問題串驅(qū)動(dòng),展現(xiàn)知識(shí)的來(lái)龍去脈

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,設(shè)計(jì)問題串驅(qū)動(dòng)教學(xué),使學(xué)生置身于數(shù)學(xué)情境中,提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.本節(jié)課由5個(gè)大問題貫穿,在層層遞進(jìn)的問題中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

問題1 三類圓錐曲線的定義是如何描述的?

設(shè)計(jì)意圖:回顧舊知,可以幫學(xué)生快速定位,明確當(dāng)下任務(wù).對(duì)比三者定義發(fā)現(xiàn),橢圓、雙曲線描述的是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和、差的點(diǎn)的軌跡,而拋物線刻畫的是到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離比值相等的點(diǎn)的軌跡,同作為圓錐曲線,肯定會(huì)存在共同的性質(zhì),共同性質(zhì)是什么呢?這是很自然的提問,也順勢(shì)引出接下來(lái)的內(nèi)容.

問題2若到定點(diǎn)與定直線距離比值為常數(shù)k(k>0),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡會(huì)是什么?

設(shè)計(jì)意圖:從不同的拋物線的定義出發(fā),將距離相等改成距離比值的形式,構(gòu)造動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)參數(shù)k(k>0),探究動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

問題3通過GGB動(dòng)畫展示,可以得到哪些結(jié)論?你能用數(shù)學(xué)式子表示嗎?

追問:由此你能概括它們的共同特征嗎?

設(shè)計(jì)意圖:GGB動(dòng)畫演示的過程中滲透著數(shù)形結(jié)合思想(滿足兩個(gè)條件的點(diǎn)的集合可以看作是圓和直線的交點(diǎn));利用子問題逐步引導(dǎo)學(xué)生概括圓錐曲線的共同特征.

問題4三類圓錐曲線的幾何性質(zhì)有哪些,我們是如何探究并驗(yàn)證的?

示范課之后,專家點(diǎn)評(píng)道,這個(gè)問題略顯生硬,現(xiàn)場(chǎng)的學(xué)生并不能明白需要回答的問題,改進(jìn)之后的問題為:前面學(xué)習(xí)了橢圓的對(duì)稱性.在橢圓上任意取點(diǎn)P,則P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P1、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P2是否在橢圓上?

預(yù)設(shè)(生1):橢圓是中心對(duì)稱圖形,根據(jù)圖像和定義可以確定.

預(yù)設(shè)(生2):xP1=-xp,yP1=-yp;xP2=xP,yP2=-yP,點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)都滿足方程.

補(bǔ)充:根據(jù)圖形初步猜測(cè)幾何性質(zhì),利用方程可以驗(yàn)證結(jié)論.

追問:類似地,橢圓的共同特征(共有性質(zhì))應(yīng)該如何驗(yàn)證呢?

設(shè)計(jì)意圖:前面分別學(xué)習(xí)三類圓錐曲線的幾何性質(zhì),而共同特征是它們共有的幾何性質(zhì).運(yùn)用類比,以橢圓(焦點(diǎn)在x軸上)為例,只要證明其上任意一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離比值等于離心率e,即證明橢圓的共同特征.滲透類比、數(shù)形結(jié)合的思想,啟發(fā)學(xué)生仿照之前的學(xué)習(xí)用標(biāo)準(zhǔn)方程(代數(shù))去驗(yàn)證共同特征.

問題5你能類比橢圓驗(yàn)證雙曲線的共同特征嗎?

接下來(lái),將焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的共同特征,用數(shù)學(xué)代數(shù)式抽象概括出來(lái).

追問:焦點(diǎn)在y軸上的橢圓、雙曲線如何其驗(yàn)證共同特征?

學(xué)生:同樣地設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),再化簡(jiǎn)焦半徑|PF2|、|PF1|.

(2)滲透思想,落實(shí)核心素養(yǎng)

接下來(lái)就是給出“統(tǒng)一定義”,回顧整節(jié)課的思路:“發(fā)現(xiàn)問題(同是圓錐曲線,應(yīng)該存在共同性質(zhì))——提出問題(圓錐曲線的共同特征是什么)——分析問題(從拋物線的定義出發(fā),構(gòu)建距離比值參數(shù)k,探究動(dòng)點(diǎn)P的軌跡)——解決問題(GGB演示軌跡形成,類比橢圓,從代數(shù)角度驗(yàn)證共同特征,抽象概括共同特征)”.整節(jié)課遵循“先用平面幾何觀察,再用坐標(biāo)法推理、論證”指導(dǎo)思想[3].

整節(jié)示范課以學(xué)生為中心,以問題為抓手,循序漸進(jìn)的問題是學(xué)生思維的落著點(diǎn),也是知識(shí)點(diǎn)發(fā)生發(fā)展的樞紐.從幾何直觀—?jiǎng)邮盅菔尽鷶?shù)驗(yàn)證,無(wú)一不體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性,類比、數(shù)形結(jié)合等思想滲透其中.整個(gè)過程培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象素養(yǎng),滲透解析幾何的本質(zhì)—用代數(shù)方法研究幾何問題.

4 結(jié)語(yǔ)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出,“在教學(xué)實(shí)踐中,要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式,不僅重視如何教,更要重視如何學(xué),引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué).”基于“四個(gè)理解”思考如何揭示本質(zhì)、優(yōu)化教學(xué)是落實(shí)“教什么”及“如何教”的有效途徑.此外,“數(shù)學(xué)是思維的體操”,而問題是思維的起點(diǎn),如何設(shè)計(jì)問題串驅(qū)動(dòng)教學(xué);如何做好過程性評(píng)價(jià)是值得深入思考的.