基于生長觀念的拓展學習的實踐與思考*
——以“完全平方公式的拓展學習”為例

徐秀峰 許梅杰

江蘇省蘇州市吳江區(qū)蘇州灣實驗初級中學 (215200)

拓展學習是指在教育教學過程中,對學習內(nèi)容、形式、方法等擴容增加和優(yōu)化發(fā)展.近期,在區(qū)初中數(shù)學教學研討活動中,筆者基于生長觀念,展示了一節(jié)完全平方式的拓展學習課,受到聽課老師的肯定.

一、生長觀念下的價值判斷

1.拓展新公式,對已有公式再認識.完全平方公式是初中代數(shù)運算的基礎公式,在整式乘法、因式分解、分式運算、二次根式化簡等代數(shù)變形中有著重要作用.但是七年級學生運用完全平方公式時,常發(fā)生如(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2,(a-b)2=a2-2ab-b2,(a-2b)2=a2-2ab+2b2等錯誤,其原因是重視公式記憶、忽視公式理解,重視公式應用、忽視探究經(jīng)驗等.本課拓展學習目的是在新情境中重溫公式探究過程,進一步理解公式結(jié)構(gòu),積累代數(shù)學習經(jīng)驗.

2.運用新方法,對數(shù)學思想再滲透.完全平方式的驗證方法,可以多項式乘多項式化簡,也可以表示圖形面積得到等式,像這樣數(shù)形結(jié)合的驗證方法,對后續(xù)代數(shù)學習有著深遠影響.在驗證新公式時,進一步生長驗證方法,如將多項轉(zhuǎn)化成二項,將高次轉(zhuǎn)化為低次,將差的運算轉(zhuǎn)化為和的運算等,再如通過復雜的分割方式理解若干項和的平方公式,從二維面積、三維體積到高維度計算,由此看來,對公式的拓展學習不光是知識的拓展,更是思想方法的拓展與鞏固,如特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、整體、模型等思想貫穿整節(jié)課.

3.經(jīng)歷新過程,對數(shù)學素養(yǎng)再發(fā)展.對七年級學生而言,二項式平方的拓展學習是有一定難度的,隨著項數(shù)和次數(shù)的增加,公式展開結(jié)果會更加復雜,二項式展開還是高中數(shù)學的學習內(nèi)容,是不是超綱、超標了?其實不然,本課拓展學習的目的不是知識的拓展,而是以知識生長為載體,滲透數(shù)學思想方法,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學規(guī)律,經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程[1].素養(yǎng)的發(fā)展應指向人的主動發(fā)展,通過構(gòu)建新的問題情境,設計有趣的數(shù)學活動,引領學生主動參與,嘗試解決,自主思考,培養(yǎng)積極的學習心理和情感.

二、價值判斷下的學習活動

(一)樂思尋疑

1.回憶公式:(a+b)2=,

(a-b)2=.

2.驗證公式;

3.思考:(1)如何將完全平方式進一步“生長”?

(2)怎么探究“生長”出的問題?

設計意圖:進一步認識公式結(jié)構(gòu)(首平方,尾平方,乘積兩倍在中央),理解兩種驗證方法,如多項式乘多項式法則,面積法(圖1,圖2)等,對于兩數(shù)差的平方還可以轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和.通過回憶完全平方式的學習過程,為本課的拓展學習奠定知識和方法的基礎.提出兩個問題,引導學生自然聯(lián)想,初步形成公式“生長”的路徑(長高、長胖)和驗證方法(數(shù)與形).

圖1

(二)樂探解疑

1.生長方式1:增加項數(shù)

(1)探究:(1) (a+b+c)2;
(2) (a+b+c+d)2.

設計意圖:遵循由簡單到復雜,由特殊到一般的原則,從三項、四項和的平方開始,引導學生自主探究,可用多項式乘多項式,也可將三項或四項看成兩部分,轉(zhuǎn)化成兩項和的平方(a+b+c)2=[(a+b) +c]2,(a+b+c+d)2=[(a+b)+ (c+d)]2,還可以可將正方形邊長分成三部分或四部分,將大正方分割若干個小正方形(圖3,圖4),不同方式計算面積得到結(jié)果.觀察計算結(jié)果,初步了解結(jié)構(gòu)特征,猜想公式規(guī)律.

圖3

(2)嘗試:(a+b+c+d+e)2;

(3)推廣:(x1+x2+x3+┈ +xn)2.

設計意圖:從三項、四項發(fā)展到五項,先根據(jù)猜想說出結(jié)果,再用數(shù)與形兩種方法進行驗證,感受到面積驗證的簡便和直觀.總結(jié)公式并推廣到n項和的平方,嘗試用數(shù)學符號表示,并類比兩項和的平方表述,寫出兩項和的平方表述——若干個數(shù)的和的平方等于這些數(shù)的平方和與它們兩兩乘積2倍的和,結(jié)合圖形感受公式的正確性.

(4)拓展:觀察式子(圖5),能提出什么問題?

圖5

探究:

設計意圖:根據(jù)已有經(jīng)驗和探究結(jié)論(圖5),生長出n項差平方的問題,并且類比兩項差的平方研究方法,將差轉(zhuǎn)化成和的形式,進一步完備公式形式(x1±x2±x3+┈ ±xn)2,滲透轉(zhuǎn)化思想和整體思想.

2.生長方式2:增加指數(shù)

(1)探究:(1) (a+b)3;(2) (a+b)4.

設計意圖:與探究增長項數(shù)的思路一致,從3次、4次開始探究,從數(shù)的角度,(a+b)3= (a+b)1· (a+b)2,(a+b)4= (a+b)2·(a+b)2,或者 (a+b)4=(a+b)1· (a+b)3等,從形的角度,(a+b)3可以看成棱長為(a+b) 的正方體體積,用不同方法表示體積得到等式(圖6),對于(a+b)4有困難,由平方想面積是二維平面問題,由立方想體積是三維空間問題,那么四次方想什么,或者應該是四維空間問題,五次方、六次方┈也是如此,雖然不能借用圖形理解,但留下豐富的遐想空間,促進學生的科學素養(yǎng)發(fā)展.

圖6

(2)歸納:

① (a+b)2=a2+2ab+b2

② (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

③ (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

思考:運算結(jié)果有什么規(guī)律?

(3)嘗試:(a+b)5=

設計意圖:將已有結(jié)論整理,并逆生長出(a+b)1和(a+b)0,引導學生發(fā)現(xiàn)字母次數(shù)和系數(shù)的規(guī)律(圖7),即一個字母升冪,另一個字母降冪,各項的次數(shù)不變,系數(shù)自上而下呈現(xiàn)三角形狀,上下系數(shù)的聯(lián)系等.根據(jù)規(guī)律嘗試寫出(a+b)5的結(jié)果,并用(a+b)5=(a+b)1· (a+b)4或(a+b)2· (a+b)3予以驗證,進一步感受結(jié)論的正確性.

圖7

(4)視頻:(搜索“楊輝三角”進入百度百科,觀看“秒懂百科”中“楊輝三角”的介紹視頻.)

(5)推廣:(a+b)n=

(6)觀察式子,又能提出什么問題?怎樣解決?

設計意圖:引用網(wǎng)絡資源,避免空洞說教,通過觀看視頻,了解楊輝三角的歷史和意義,感受數(shù)學的神奇魅力,增強民族文化的自豪感.嘗試用符號語言和文字語言敘述兩項和n次方的規(guī)律,發(fā)展符號意識.在式子的對比過程中(圖8),引導學生再次生長出兩項差n次方的規(guī)律,并類比之前和差轉(zhuǎn)化的方法,順利解決問題,完備二項式展開規(guī)律(a±b)n,準確認識到代數(shù)變形的方法.

圖8

(三)樂辨質(zhì)疑

1.求值:(1)(x-y+1)2; (2) 114.

2.(a+b)10的展開式中所有項的系數(shù)和為.

設計意圖:用拓展所得公式解決問題,體會公式的簡單應用,增強學習新知識的興趣.在二項式展開中進一步發(fā)現(xiàn)楊輝三角的神奇結(jié)論,激發(fā)繼續(xù)探究的欲望,對中國古代數(shù)學文化的向往.

(四)樂構(gòu)活疑

1.在拓展完全平方公式的過程中,了解到哪些新知識?

2.還能舉出類似的知識“生長”例子嗎?

設計意圖:總結(jié)本課拓展學習的知識和方法,凸顯知識生長過程、問題解決方法.回憶其他有關“生長”的例子,如從兩個有理數(shù)的加法生長到多個數(shù)的加法、從兩個同底數(shù)冪的乘法除法生長到多個同底數(shù)冪的乘法除法,從三角形的內(nèi)角和生長到多邊形內(nèi)角和等,前后聯(lián)系,一以貫之,為以后生長學習埋下種子.

三、學習活動后的深度思考

1.拓展學習是為促進學生個性化發(fā)展

“拓展”即開拓發(fā)展,是教材資源不夠嗎? 數(shù)學教材的意義不僅是教學內(nèi)容的呈現(xiàn),而是教學設計的藍本、教學活動的資源、滲透思想的載體.每個學生都是鮮活生動的個體,不同學生的數(shù)學水平有差異,不同時期產(chǎn)生數(shù)學問題也不盡相同,如何滿足學生的個性化需求,如何適應快速發(fā)展的社會,是新時代教師思考的重要問題.顯然,統(tǒng)一的教材、單一的學習方式是不夠的,比如對學有余力的學生而言,完全平方式不難掌握,但是僅通過二項式展開,學生很難體會公式結(jié)構(gòu)中的“對稱美”,探究方法中數(shù)與形的“統(tǒng)一美”,數(shù)學知識體系的“秩序美”,數(shù)學語言的“簡潔美”等等,由此可見,對公式的拓展學習是有必要的.

2.拓展學習是為促進學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展

一般地,拓展學習的目的不是拓展知識,更不提倡拓展超標、超綱的知識,應是以拓展知識為載體,促進能力和素養(yǎng)的發(fā)展(圖9).如本課的學習目的不是掌握多項式平方展開式與二項高次方展開式,更不能以記憶公式、運用公式去解題為目的,而是讓學生經(jīng)歷拓展學習的過程,即基于已有經(jīng)驗生長新問題、類比已有方法探究新公式、簡單運用感悟新成果等.可能經(jīng)過若干天之后,學生會忘記了拓展出的公式結(jié)構(gòu),也不會用新公式解決問題,但生長過程的體驗,探究方法的巧妙,積極參與的情感會悄然影響學生品格.帶給學生終身受用的哲學方法論上的認識,即讓學生“帶得走”的能力和素養(yǎng)[2],當把所有的教育都忘記了,剩下的就是素質(zhì)!

圖9

3.拓展學習需遵循生長觀念

數(shù)學學習如樹木生長一般,在已有知識上生長新知識,兼容并濟,建構(gòu)日益完備的知識體系;在已有能力上生長新能力,迭代升級,形成穩(wěn)定全面的方法技能.拓展學習是常規(guī)生長之外的拔節(jié)生長,使枝更繁、葉更茂,是彰顯個性的生長、是面向全面的生長.

(1)擴展學習建立在學生相對成熟的經(jīng)驗上,比如已經(jīng)理解完全平方公式,并能運用公式解決問題了,引導學生發(fā)現(xiàn)新的生長點是基礎,也就是如何突破已有經(jīng)驗和慣性思維.在新舊知識對比中發(fā)現(xiàn)已有知識的局限性,在解決新問題時發(fā)現(xiàn)已有知識不夠或方法不行,依據(jù)數(shù)學發(fā)展規(guī)律學習時產(chǎn)生新的想法等,形成進一步生長的需要,激活拓展學習的種子.要給學生以自主探究的地位、獨立思考的時空,形成過程的感受、體驗成敗的樂趣[3].

(2)拓展學習的難度有所提高,過程更有挑戰(zhàn)性,產(chǎn)生持續(xù)生長力是關鍵.問題是生長的動力,用問題驅(qū)動擴展學習(本課問題設計如圖10),激發(fā)探究欲望;情感是生長的潤滑劑,用積極的人際關系營造心理氛圍,體驗成功收獲快樂.無懼拓展學習難度,激發(fā)生長的主動性,從自覺生長到必然生長.

圖10

(3)拓展學習的成果應指向素養(yǎng)的發(fā)展,滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、模型等數(shù)學思想方法,逐步充拓展學習的生長經(jīng)驗,激發(fā)生長的原生動力,形成“生長——再生長——生長”的拓展流程.拓展學習的成果應指向人的發(fā)展,促進學生可持續(xù)發(fā)展,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),堅定正確人生觀和價值觀,從數(shù)學生長走向人的生長.

四、結(jié)束語

拓展學習是常規(guī)學習的延伸,進一步優(yōu)化學習方式,轉(zhuǎn)變思維方式,有關數(shù)學拓展學習的資源建設、活動組織、評價機制等有待研究.拓展學習也是現(xiàn)代人必備的品質(zhì),敢于突破原有認知和能力,實現(xiàn)自我生長、自我突破!