回歸教材溯源 倡導“一題多變”
——以一道全國高考真題為例

張國林

云南省玉溪第一中學 (653100)

數列是《普通高中數學課課程標準(2017年版2020年修訂)》選擇性必修課程中函數主線的重要內容之一,也是歷年高考數學試卷中的主干知識之一．每年高考中,數列模塊知識都是一個重要命題點,除了數列自身的概念、公式、性質等的考查外,還經常合理融合函數與方程、不等式等其他相關知識,也是高考命題中考查“四基”,以及數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養,成為考查創新意識與創新應用的一個重要的風向標,倍受各方關注．

1．真題呈現

(2023年高考數學全國乙卷文科·18)記Sn為等差數列{an}的前n項和,已知a2=11,S10=40．

(1)求{an}的通項公式;

(2)求數列{|an|}的前n項和Tn．

2．思維流程

求解數列的綜合應用問題時,其基本策略就是“歸”字當頭,其思維流程可表示為:

圖1

數列問題的化歸與歸納,從問題場景入手,對于非特殊數列(非等差或等比數列),往往從特殊情景出發,尋找數列的規律性(周期性、單調性等),歸納出一般性的方法、規律;對于特殊數列,往往將已知數列化歸為熟知、確定的等差(比)數列,然后借助數列的概念、性質或基本量運算等來求解;對于應用型數列,往往合理構建數學模型,借助抽象特殊數列的構建,通過數列知識來化歸與轉化,并結合實際應用場景來綜合等．

3．真題破解

綜上所述,數列{|an|}的前n項和

解后反思：借助分類討論思想來確定不同條件下數列求和公式的表達式,利用“分段函數”形式來表示,是本題的一大亮點．回歸數列的函數性,通過“分段函數”形式來表示題設條件或所求結論,成為高考中數列模塊知識考查的一個新特點,很好體現高考“在知識點交匯處命題”的指導方針,要引起高度重視．

4．追根溯源

此題可溯源到人教社2019年《數學》(選擇性必修第二冊)第四章《數列》第23頁中的例9,即:已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若a1=10,公差d=-2,則Sn是否存在最大值?若存在,求Sn的最大值及取得最大值時n的值;若不存在,請說明理由．

所以高考真題脫胎于該例題,將以首項為正數,公差為負數的等差數列來創設問題場景,通過前n項和Sn來綜合與應用．這也為該命題的應用,以及高考真題的變式與拓展開拓更加合理的空間．

5．變式拓展

若保留題設場景以及原有的特殊數列,從二次函數視角入手來研究數列前n項和的最值問題,屬于簡單的數列應用問題．可得以下變式:

變式1 記Sn為等差數列{an}的前n項和,已知a2=11,S10=40．(1)求{an}的通項公式;(2)求數列{an}的前n項和Sn的最大值．

若保留題設場景以及原有的特殊數列,借助指數冪(-1)n的乘積來創設新數列,利用奇、偶項的分類討論與應用,進而確定與新數列相關的前n項和問題．可得以下變式:

變式2 記Sn為等差數列{an}的前n項和,已知a2=11,S10=40．(1)求{an}的通項公式;(2)令bn=(-1)n·an,求數列{bn}的前n項和Tn．

綜上所述,數列{bn}的前n項和

若保留題設場景以及原有的特殊數列,借助通項的代數式變化來創設新數列,利用裂項法思維,進而確定與新數列相關的前n項和問題．可得以下變式:

6．教學啟示

6.1 回歸數學教材,挖掘問題本源

在實際的數學教學與復習備考中,一定要回歸高中數學教材,挖掘課本中基本知識點、例(習)題的本源與實質,細細體會高中數學概念的重要性,知識融會貫通的必要性,數學思想方法應用的類比性,數學核心素養參透的關鍵性等．

在數學教學與學習時,合理引導學生自主學習,挖掘問題的本源,合理把握定義,化歸轉化問題,借助已有知識來解決新問題,從而才能正確提升學生的知識應用、自主學習等方面的能力,以及提高學生獨立思考、獨立解決問題的能力．

6.2 倡導“一題多變”,實現“一題多得”

借助一些典型例題,特別是高考真題的“一題多變”,合理發散思維,基于一個典型問題出發,從不同思維視角來挖掘問題的內涵以及知識的聯系,全面提升各方面的能力．

而深入進行典型實例的“一題多變”,可以巧妙實現問題的“一題多得”,在聚合數學思維的基礎上加以開拓,特別在變式過程中尋找通法,在探究中升華能力,研究之路定會越鋪越遠,創新意識與創新能力也會得以一定程度的培養與提升．