《數學通報》2573問題的證明及變式推廣

徐鳳旺 成 敏 劉天明

貴州師范大學數學科學學院 (550025)

1 問題呈現

這是《數學通報》2020年第11期數學問題解答2573問題的一道不等式證明題,可以看出該不等式的分子和分母都是由常數項和一次項構成,條件和結論結構對稱,具有數學的美感,文[1]主要是通過基本不等式和權方和不等式得到證明,讀后深受啟發,本文擬對該不等式的證明方法、變式及推廣做進一步的探究,與大家一起分享.

2 問題解析

2d)+(7+2a)]2/[(1+a)(7+2b)+(1+b)(7+2c)+(1+c)(7+2d)+(1+d)(7+2a)],則只需證

3 問題變式

分析：此變式是根據證法2得到的,利用權方和不等式可以證明.

分析：此變式是在問題的基礎上,將不等式分母的常數項“1,1,1,1”分別變為未知數“c,d,a,b”,使分母的未知數從“1”元變到“2”元,證明方法同上述證法1.

分析：此變式是在問題的基礎上,將不等式分子的常數項“7,7,7,7”分別變為未知數“d,a,b,c”,使分子的未知數從“1”元變到“2”元,證明方法同上述證法1.

分析：此變式是在問題的基礎上,將分母的結構改變,使分母從二項式變為三項式、未知數個數從“1”元變到“2”元,證明方法同上述證法1.

分析：此變式是在問題的基礎上,將分子的結構改變,使分子從二項式變為三項式、未知數個數從“1”元變到“2”元,證明方法同上述證法1.

4 問題推廣

分析：此推廣將問題中條件式子的結果從“1”推廣到“t”.

分析：此推廣是在推廣1的基礎上,將未知數的個數從“3”元推廣到“n”元.

分析：此推廣是在問題的基礎上推廣,將不等式的分子和分母的系數“7,2,1,1”推廣到“λ,μ,α,β”.

分析：此推廣是在變式3的基礎上推廣,將變式3中不等式的分子和分母的系數“1,2,1,1”推廣到“α,β,λ,μ”.

分析：此推廣是在變式5的基礎上推廣,將變式5中的分子和分母的系數“7,2,2,1,1”推廣到“λ,α,β,μ,γ”.

上述推廣1到推廣5的證明方法是類似的,這里給出推廣3和推廣5的證明,其余推廣的證明不再敘述.