一個三角形不等式的進一步探究

朱凌云 鄒守文

安徽省南陵縣家發中學 (241300)；安徽省南陵縣城東實驗學校 (241300)

題目(《數學教學》2022年第10期問題1162)在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,求證:

2(a2cosA+b2cosB+c2cosC)≤ab+bc+ca(1).

本文給出(2)式的一個加強,結論如下:

為了證明上述結論,先給出如下引理.

引理[3] .在△ABC中,有S2≤

定理的證明：在△ABC中,有恒等式∑ab=S2+4Rr+r2,∑a2=2(S2-4Rr-r2),∑a3=

-(4R3+6R2r+5Rr2+6r3)2≥0