例談三角形面積公式的應用

彭 樸

上海市嘉定區安亭高級中學 (201805)

一、試題呈現

題目如圖1,線段AB的長為8,點C在線段AB上,AC=2.點P為線段CB上任意一點,點A繞著點C順時針旋轉,點B繞著點P逆時針旋轉.若它們恰重合于點D,則△CDP的面積的最大值為________.(2022學年第二學期上海市高三年級質量調研第11題)

圖1

如何來解這道題,不妨先分析一下題目的條件,由條件可知DC=AC=2,CP+DP=6,要求△CDP的面積的最大值,首先要知道如下的三角形面積公式:

二、解法探究

評注：海倫公式最大的優勢是只要知道三角形三條邊,就可以把三角形的面積公式求出來,此題雖然只知道一條邊長,但另兩條邊的和知道,只要假設其中一條邊長為x,另一條邊長就可以用6-x表示,則SΔCDP可以表示為x的函數,轉化為求函數的最值.

圖2

圖3

圖4

評注：解法6同樣是運用解析幾何的方法,先建系,然后引進參數θ,將點D坐標用θ表示,寫出DB的中垂線方程,求出點P的坐標,計算出|CP|,將SΔCDP表示為θ的函數,最后求出其最值.

圖5

三、結語

以上解法1,2,3和7是采用代數的方法,解法4,5和6是采用解析幾何的方法,它們的共同特點是尋找變量,建立SΔCDP關于變量的函數關系式,轉化為求函數的最大值.從上面的推導過程中,容易得到以下結論:當三角形的周長和其中一條邊為定值,另兩條邊相等時,此三角的面積最大.

這道試題綜合考查了三角形面積公式的應用、函數關系式的建立、求函數的最值等基本知識、技能和方法,建立函數關系式是本題的關鍵,既可從代數的角度直接轉化,也可從幾何的角度轉化,是考查數學思想方法的良好素材,也是考查直觀想象、邏輯推理、數學運算核心素養的好試題.