一道三角模考題的多角度分析

董慧敏 王洪軍

內蒙古師范大學附屬中學 (010020) 內蒙古呼和浩特市托克托縣第一中學 (010200)

解三角形是高中數學中的核心內容之一,盡管在高考中占有很大的比重,但試題難度適中,因此它成為學生在考試中的主要得分部分.本文以高三模擬考試中一道與角平分線有關的解三角形題為例進行多角度分析.

典例在ΔABC中,∠BAC的角平分線AD與邊BC交于D點,求證:AD2=AB·AC-BD·DC.

本題的一般做法是分別在ΔABD和ΔACD中利用余弦定理,借助“爪型結構”進行分析證明.

圖1

從上述證明過程能夠看到,利用余弦定理建立等式之后,所得到的等式與待證式之間沒有特別明顯的聯系,對學生來說變形整理的方向并不明確,思維量較大,讓學生望而卻步.鑒于日常教學過程中對于角分線的問題,筆者有意識的強化了借助面積之間的關系建立表達式的這種想法,由此可以得到如下證明.

證明2：如圖1,令∠BAD=∠CAD=θ,在ΔABC中,由余弦定理可得cos2θ=

上述證明最直接的感受就是過程較為繁雜,相對來說,變形整理時的方向明確些,實際教學過程中學生對這一證明方法較為認可,能達到這種效果的前提是前期的教學過程要有意識的滲透某種思想、某些解題理念以及相關數學知識等.

我們知道,在學習數學的過程中如果直接論證方向不明,產生思維障礙時,不妨從結論出發,執果索因,探尋解決問題的方法,因此下面的證明是講解過程中思路最清晰的.

典例中所得結論其實是平面幾何學中以荷蘭數學家斯庫頓(Schouten,1615—1660)的名字來命名的定理,它在解題中有著廣泛的應用,下面通過兩個具體例題進行說明.

圖2

從上面的解答過程可以看到,利用斯庫頓定理可以比較方便的建立與角平分線有關的等式,簡化運算也降低了思維量,我們還可以通過下面解析幾何的題目進一步體會其作用.

圖3

|PF2|-|F1M|·

需要說明的是,斯庫頓定理的逆定理也是成立的,實質上它與三角形內角平分線定理是等價的,它還能推導平面幾何中的其他定理或結論,這里就不在一一闡述了,有興趣的讀者可以自行研究.

數學教育家波利亞說過“掌握數學意味著善于解題”,解題教學在中學數學教學中占據重要地位,解題教學不僅僅是要教會學生怎樣解題,更重要的是要教會學生如何思考,尤其是遇到學生普遍有問題的題目,更要弄清楚學生產生思維障礙的根源.筆者在教學過程中盡量找到這類問題的“題根”,也就是以本質相同但相對來說更為簡單的題目為出發點,通過變式逐步將其轉化為學生有疑問的題目上,將未知的復雜問題與熟悉的簡單問題建立聯系,避免套路化的總結方法,讓學生在思考問題的過程中自己感受方法的通用性與特殊性,盡量做到化“冰冷的美麗”為“火熱的思考”.解題有法,但無定法,不明原因的機械套用,不利于數學思維的培養與能力的提升,也與現行的課標要求不符.