巧借特殊值,妙解高考題

莊鳳蘭

福建省惠安第三中學 (362100)

在高考中,針對選擇題可以利用特殊化進行合理尋覓或巧妙排除,確定滿足條件的選項或結論,再回歸一般性規律,得以正確判斷或求解．特殊值法比較適用于高考中的一些函數、方程、不等式、數列等選擇題,本文結合近年高考數學試題中一些客觀題加以剖析．

例1 已知參數方程t∈[-1,1],以下哪個圖象符合該方程( ).

分析：結合題目條件中的參數方程,利用參數t在取值范圍內的特殊值t=0與t=1的選取,進而確定對應變量的值,通過圖象的特征加以合理排除,從而得以間接判斷出滿足條件的圖象．

解析：巧取特殊值t=0,可得x=0,y=0,此時圖象過坐標原點,由此可以排除選項A;又巧取特殊值t=1,可得x=-1,y=0,此時圖象過x軸負半軸上的點(-1,0),由此可以排除選項C、D.故選B．

點評：合理利用特殊值巧判函數、方程等所對應的圖象,利用滿足條件的特殊值的有效選取,結合特殊點的確定與位置特征,與相應的圖象加以對比分析,合理排除,巧妙判斷．在利用特殊值巧判圖象問題中,經常要多次利用特殊值的巧妙選取來合理排除,只剩下最后一個正確答案為止．

例2 (2021年上海卷第16題)已知x1、y1、x2、y2、x3、y3為6個不同的實數,滿足①x1

A．2x2x1+x3

C．x22x1x3

分析：結合題目條件中的6個不同的實數所滿足的關系,巧取特殊值滿足條件②,并確定x1、x2、x3三個值,進而確定另外三個實數的值,滿足三個條件即可,在此基礎上代入對應的選項來確定不等式是否成立即可．

解析：根據題目條件,巧取特殊值x1+y1=x2+y2=x3+y3=9,且x1=1,x2=2,x3=4,可得y1=8,y2=7,y3=5,同時滿足三個條件,根據x1=1,x2=2,x3=4,只有選項A中2x2

點評：合理利用特殊值巧比大小是破解參數值、函數值、代數式等的大小比較的選擇題中經常用到的一類特殊化思想方法,在解答一些大小比較的客觀題中有一定的用武之地,簡單易操作,只是特殊值的選取有一定的技巧性和局限性．

例3 已知a,b∈R,ab>0,函數f(x)=ax2+b(x∈R)．若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比數列,則平面上點(s,t)的軌跡是( ).

A．直線和圓 B．直線和橢圓

C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線

分析：根據題設條件巧取滿足ab>0的特殊值a=b=1,簡化二次函數解析式,方便利用等比數列的定義建立與轉化相應的關系式,有效地進行邏輯推理,更加利于平面上點的軌跡的確定與判斷．

點評：合理利用特殊值巧化函數、數列、平面向量等的關系,進一步簡化相關要素之間的關系的建立與轉化,便于尋找聯系、代數運算、邏輯推理等,對于優化解題過程,提高解題效益等都是很有益處的．

例4 設a≠0,若x=a為函數f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則( ).

A．abC．aba2

分析：利用三次函數進行求導處理,確定導函數及其導函數的零點,分別利用參數a取正負情況下特殊值的巧取來分類討論,結合極大值點的條件確定兩零點之間的大小關系,進而確定參數之間的大小關系,從而得以判斷對應的不等關系式．

點評：合理利用特殊值巧解涉及眾多知識的綜合問題,往往是邏輯推理與巧取特殊值的合理滲透與綜合應用．確定此類綜合問題時,在推理或求解過程中,要正確理解并明確復雜式子的內涵,合理選取特殊值加以正確運算、推理與應用．細致的驗證與特殊值的運算是解決問題的關鍵．

巧借特殊值法,適當簡化繁雜的邏輯推理與代數運算過程,合理回避題目對應數學知識的直接應用,從特殊值角度,簡單處理,降低知識層次,弱化知識難度,強化思想方法,簡化解題過程,提升解題效益,節省寶貴時間．