對2023年全國乙卷文數第20題的深度探究*

郭 蒙

陜西省榆林市吳堡中學 (718200)

1 試題呈現

這道高考題,第一問常規題目,難度上進行了合理控制,體現了學科知識本質的基礎性,落實了高考內容改革,考查學生對基礎知識和基本方法的深刻理解及融會貫通的應用,落實“四翼”考察要求,聚焦學科核心素養,計算量大,是一道非常精彩的壓軸題,彰顯了試題的綜合性,符合選拔高層次人才的要求.

2 解法探究

2.1 第(1)問求解

評注：第(1)問屬于常規題型,利用導數容易求出曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程,突出強調對基礎知識和基本技能的深入理解.

2.2第(2)問求解解法一(必要性探路-端點效應)

命題1 若h(x,m)≥0(m為參數)在[a,b](a,b為常數)上恒成立,且h(a)=0(或h(b)=0),則h′(a)≥0(或h′(b)≤0).

命題2 若h(x,m)≥0(m為參數)在[a,b](a,b為常數)上恒成立,且h(a)=0,h′(a)=0或(h(b)=0,h′(b)=0),則h″(a)≥0(或h″(b)≤0).

證明1：因為h(x)≥0在[a,b]上恒成立,且h(a)=0,因此存在t∈(a,b],使得h(x)在[a,t]上單調遞增,所以h′(x)≥0在[a,t]上恒成立,因此h′(a)≥0.(h′(b)≤0證明方法類似)

證明2：因為h(x)≥0在[a,b]上恒成立,且h(a)=0,因此存在t∈(a,b],使得h(x)在[a,t]上單調遞增,所以h′(x)≥0在[a,t]上恒成立,又因為h′(a)=0,因此存在δ∈(a,t],使得h′(x)在[a,δ]上單調遞增,所以h″(x)≥0在[a,t]上恒成立,因此h″(a)≥0.(h″(b)≤0證明方法類似)

推論1 若h(x,m)≥0(m為參數)在[a,b](a,b為常數)上恒成立,且h(a)=0,h′(a)=0,…,h(n-1)(a)=0,則h(n)(a)≥0,n≥1,n∈N.

推論2 若h(x,m)≥0(m為參數)在[a,b](a,b為常數)上恒成立,且h(b)=0,h′(b)=0…,h(n-1)(b)=0,則h(n)(b)≤0,n≥1,n∈N.

評注：必要性探路方法求出的參數范圍并不一定就是所求的實際范圍,必須檢驗其充分性,利用必要性探路可以縮小參數的討論范圍,減少分類討論的類別,降低思維的成本.

評注：本題可轉化為端點效應題型,并且充分性成立,充要性得證端點效應為我們用分類討論解題提供了參數的分界點,利用端點效應可縮小參數的范圍,使得分類討論的問題得到簡化.

當a≤0時,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上單調遞減,g(x)

評注：利用必要性探路可得到參數的分界點,以此分界點展開分類討論,進而完美的解答了此題.

評注：本題利用分離參數法求出了參數范圍,導函數比較復雜,計算量較大,還要利用大學知識洛必達法則求極限.

評注：泰勒公式可以幫助我們明確出題人的命題思路,看透題目的本質,以泰勒公式為背景命題,立意新穎,創新性極高,為學生高等數學的學習做鋪墊,具有選拔人才的作用,再利用高觀點可以溯其源,究其本,在考試時,可以利用泰勒公式迅速得到參數的答案,做到心中有數,利用分類討論等方法完美解答問題.