恒成立巧切入,多方法妙應用—一道函數不等式綜合題解法的探究

朱 梅

江蘇省高郵第一中學 (225600)

含參不等式恒成立問題一直是高考數學中的一類熱點題型,有時以小題(選擇題或填空題)形式出現,有時以解答題形式出現,均是難得的壓軸題.此類問題難度較大,解題思維靈活多變,創新新穎,是充分體現考生的基礎知識、基本能力與解題經驗等方面的一個很好場景,具有較好的選拔性與區分度,倍受關注．

1．問題呈現

這是一道以指數函數、對數函數混合的分段函數為問題背景,結合含參不等式恒成立來創設問題場景,進而確定相關參數的取值范圍．

2．問題破解

解后反思：根據題設條件中的分段函數,分x=0,x<0及x>0三種情況分別討論,通過不等式的恒等變形與轉化,合理構造函數,結合x=0處的函數值,推導得出函數的單調性,進而得出導函數的符號,分離參數加以合理轉化與應用,即可推得答案．

解后反思：根據題設條件中的分段函數以及對應的不等式加以分類討論,利用切線不等式來合理放縮,簡捷有效,是破解此類問題的一種“巧技妙法”．利用切線不等式放縮解決不等式恒成立問題確實能達到事半功倍的效果,但是并非所有的不等式恒成立問題可以使用此方法．注意到本題等號成立的條件是x=0時,而兩個函數剛好都是在x=0處有切線．因此一般來講,利用切線不等式放縮是在取等號處尋找切線．

3．變式拓展

變式1 已知函數f(x)=

解析：對函數y=e-2x-1求導可得y′=

圖1

評注：利用導數的幾何意義,回歸分段函數中在端點x=0處的切線的斜率確定,數形結合,直觀分析參數的取值范圍問題,難度中等．

評注：結合切線不等式分別對不確定的函數f(x)與確定的函數g(x)進行放縮處理,恰好兩曲線位于兩平行直線的兩側,轉化為求解兩平行線間的距離來轉化,難度太大．

4 教學啟示

破解此類含參數不等式恒成立問題,常見的解題技法主要從以下幾個方面切入:一是函數視角切入,基本的技巧策略是構造函數法,利用函數的單調性與最值來巧妙轉化;二是不等式視角切入,基本的技巧策略是借助不等式基本性質或重要不等式(包括切線不等式等)的放縮來轉化;三是數形直觀切入,基本的技巧策略是通過函數圖象的數形結合法來直觀轉化等．