例析導數中隱零點問題的解題技巧

黃衛民

江西省臨川第二中學 (344100)

在求解函數問題時,很多時候都需要求函數f(x)在區間I上的零點,但所述情形都難以求出其準確值,導致解題過程無法繼續進行時,可這樣嘗試求解:先證明函數f(x)在區間I上存在唯一的零點,這時可設出其零點是x0,因為x0不易求出(當然,有時是可以求出但無需求出),所以把零點x0叫做隱零點.

實際上很多隱零點問題產生的原因就是含有指對項,而這類問題又往往具有同構特征.一般地,隱零點代換需要同構才能求解．否則,我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向．例如,常用的隱零點的同構:

解析：f′(x)=4ae2x-(x+1)ex=

變式已知函數f(x)=ln(ax),a>0,若f(x)≤(x-1)ex-a, 求a的取值范圍.

由上述實例可見,求解導數中二次函數或非二次函數的隱零點問題是常見的處理方法,而隱零點問題是高考導數壓軸題最常考的類型之一,其中虛設零點法則是其中難度較大、出現較頻繁的題型,它能綜合考查學生對導數掌握的熟練程度,學生應在理解透“虛設零點”的基礎上多加練習以期熟能生巧．