直接法切入應用,間接法巧妙轉化—一道雙曲線題求解的探究

許姍姍

江蘇省宜興市張渚高級中學 (214233)

圓錐曲線中的取值范圍(或最值)問題,一直是各類數學考試中比較常見的基本題型．此類問題中,往往涉及圓錐曲線中的基本要素(離心率,直線的傾斜角或斜率等)、相關點的坐標、對應的參數值、相應的代數式等問題,形式多變,創新新穎．同時,問題場景可“動”或“靜”,可“數”或“形”,充分體現了解析幾何中“動”與“靜”的完美統一,“數”與“形”的有機融合,綜合性強,趣味性高,能更好地體現數學的基礎性、綜合性與應用性等,倍受各方關注．

1．問題呈現

此題以含參雙曲線為問題背景,結合焦點弦長度的給出,利用直線與雙曲線的位置關系的合理創設,通過符合條件的焦點弦所在的直線的條數,進而巧妙創新確定對應參數的取值范圍．求解時可從問題條件入手,合理挖掘問題的本質與內涵,既可直接“翻譯”條件,直接法切入應用;也可間接“處理”條件,間接法巧妙轉化．不同的思維視角,都可以給問題的解決提供有效的技巧與方法．

2．問題破解

方法2：(直接法2)由方法1可得關于m的方程3a(m2+1)=2|12m2-a2|有四個不等的實數解,當12m2-a2>0時,可得3a(m2+1)=2(12m2-a2),即(24-3a)m2=2a2+3a,因為a>0,可得24-3a>0,解得0

解后反思：根據題設條件加以直接“翻譯”,通過直線與圓錐曲線的位置關系,利用基本量的分析與處理來解決問題,此種思維方法對數學運算提出了較高的要求,往往數學運算量比較大,過程比較繁雜．直接法也是解決直線與圓錐曲線的位置關系問題中的一種基本解法,也是最為常用與首選的方法．

(2)弦的兩端點分別在雙曲線C的左、右支上,此時直線有兩條.當直線l與x軸重合時,|AB|取得最小值2a,要使得直線l有兩條,則必須滿足2a<16,即a<8.

解后反思：根據題設條件加以間接“處理”,利用圓錐曲線的對稱性以及相應的幾何性質,這里特別要熟悉雙曲線弦的最值問題,通過兩極端情況加以極限思維處理,從而得以確定參數的取值范圍．間接法的本質就是抓住圓錐曲線自身的對稱性以及幾何性質,為巧妙解決涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題提供一種更加良好的解法,優化解題過程,減少數學運算．

3．變式拓展

由以上雙曲線問題的“一題多解”,可進一步發散思維,開拓技法,從符合條件的焦點弦所在直線的條數變化入手,進行“一題多變”．

4．教學啟示

4．1 合理歸納總結,技巧方法點睛

一般地,涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題中,有關圓錐曲線中的取值范圍(或最值)問題的幾種常見求解策略有:

(1)利用圓錐曲線自身的幾何性質、函數與方程思想中的判別式等構造不等關系,從而確定參數的取值范圍;

(2)利用題設已知參數的取值范圍,進而確定新參數的取值范圍,解決這類問題的核心是建立已知參數與新參數這兩個參數之間的等量關系,合理巧妙轉化;

(3)利用題設中的隱含不等關系建立對應的不等式(組),從而求解相應參數的取值范圍;

(4)利用題設中的已知不等關系建立對應的不等式(組),從而求解相應參數的取值范圍;

(5)利用求解函數值域的方法將待求變量表示為其他變量的函數,求其對應的值域,從而確定參數的取值范圍．

4．2 倡導“一題多解”,培養核心素養

在平時數學教學中,“一題多解”對學生數學基礎知識的構建與邏輯思維能力的培養等方面都有著重要的影響．教師應注重將“一題多解”應用意識合理、適度地滲透到數學課堂解題教學中．

借助“一題多解”的應用,可以從不同思維角度進行數學問題的解法探究,讓學生在解題探究中感悟數學思想方法之美,同時結合“一題多變”,達到“一題多得”,“一題多思”等良好效果,開拓解題的寬度、廣度、深度等,培養學生思維的發散性與開拓性,全面開拓學生的視野,提升數學能力與數學品質,培養學生的核心素養．