一道預賽試題的解答優化和推廣

王文雅 張國治

浙江大學附屬中學 (310007)；新疆生產建設兵團第二中學 (830002)

波利亞認為“掌握數學的重要體現就是善于解題,解題的成功決定于選擇正確的角度,決定于從容易接近的一側來攻克要塞”.[1]單墫教授則認為“ 解題應以簡單自然為上”.所謂“自然”,就是抓住問題的實質,該怎么解就怎么解,不故弄玄虛,樸實自然”.本文以一道浙江預賽題為例,談談是如何優化尋求自然解答的歷程,供參考.

一、題目及解答

二、易錯剖析

三、解答優化

評注：在預設過定點直線方程時一定要考慮全面切記不能遺漏.一般地,過點A(a,0)的直線l的方程可設為x=my+a或y=0;過點B(0,b)的直線l的方程可設為y=kx+b或x=0.更一般的結論:過A(a,b)的直線l的方程可設為x=m(y-b)+a或y=b,也可以設為y=k(x-a)+b或x=a.

反思：既然剖析了標準解答設線法中隱蔽的錯誤,我們首先思考是否還有其他更好的解題思路嗎?事實上,可以采用設點法,利用點差法給出如下別具一格自然解答.

四、自然解答

五、一般推廣

六、教學思考

解決數學問題不僅僅是得到問題的答案,更重要的是對數學思維的訓練,達到舉一反三、觸類旁通的效果.一道題做完了,不能輕易的畫句號,應該多畫問號與省略號.正如著名數學家阿蒂亞曾說過,教育數學就要致力于把數學簡化和統一、致力于使數學更容易理解.筆者認為,自然解法之所以自然,是透過現象切入了本質,抓住了變化中的不變性,數學解題貴在自然,數學解題及數學教學應該從學生已有的知識基礎和經驗出發,跟著學生感覺走,努力尋求自然的解法,這才是最真實和最寶貴的.[5]

好的試題就像一把“尺”,能比較準確地測量學生的學習情況﹔差的試題非但不能準確地測量學生的學習情況,反而會對教學工作造成誤導.我們在編擬數學試題時,應該懷著嚴謹的態度﹐保持縝密的思維﹐反復推敲﹐勇于懷疑,求真務實,堅持真理.[6]