讓數學“小工具”呈現生命態，釋放育人“大能量”

何 敏 上海市閔行區田園外語實驗小學

數學工具的產生具有遙遠的歷史，它們是前人實踐的結果和智慧的結晶，也是抽象的數學概念。如果我們只關注這些數學工具表面的符號化知識，僅僅關注工具操作技能的習得，在教學上就會不自覺把學生當成被動接受的客體，難以體現其促進學生發展和成長的價值。因此，我們非常有必要透過現有的符號化工具去挖掘其發生和發展的過程，再現前人的實踐活動和發明創造，并在此過程中感受智慧、實踐智慧、生成智慧，實現這些工具的學習對學生個體發展的獨特育人價值。

基于以上思考，本文通過量角器、圓規的形成過程和原理再現，讓學生在過程再現中形成發現的視角和猜想的意識，產生主動探究的欲望和學習內驅力，在再現對前人發現和發明的再創造過程中，感受和踐行前人的智慧，并把這些智慧逐步轉化為自身的生命成長和發展的力量。

一、圓規的深度解讀，在主動激活中啟迪智慧

滬教版教材中關于“圓規”的學習是通過四年級第一學期第五章“圓的初步認識”中的例3 完成的。教材按照“生活中的圓—畫圓—用圓規畫圓”來編排，注重學生在生活和學習上的經驗積累，也強調通過動手操作來認識圓及圓規。似乎這樣的安排合情合理，也是每位學生認識圓和圓規必須經歷的過程，但這樣的過程是否達到了“數學知識生命激活”的狀態了呢？顯然還不夠。對于圓規，老師們的教學重心大多還是放在“如何準確使用”上面，為了達到這個目標，老師們想出了各種方法，如重演示、多操練、編口訣等，看似該注意的都注意到了，但恰恰忽視的是教學過程中最重要的育人價值的開發，即前人在形成這個工具過程中的智慧以及此過程對學生成長的重要價值。

圓是小學階段研究曲線形平面圖形的開始，是圖形認識發展的一次飛躍，作為畫圓工具的圓規，顯然蘊含著更豐富的育人資源：教材中體育老師為什么用木樁和拉緊的繩子畫圓？數學老師為什么也是固定一點拉直繩子畫圓？（如圖1所示）

圖1

畫圓的過程和圓的本質特征可以同步進行嗎？圓規畫圓和上面的兩種方法看起來不太一樣，學生能透過現象看到本質上的關聯嗎？學生能在個人經驗的基礎上實現與人類實踐的對接嗎？通過怎樣的活動設計來了解圓規的形成過程，感受圓規產生的必然性和必要性？基于以上思考進行了如下的實踐探索。

（一）施以誘因促內需

學生對圓已經有比較廣泛的生活經驗和知識基礎，缺乏的是數學提煉。在教學中我們要看到學生的潛在可能，通過教學豐富、發展和提升他們的認知，所以可以從學生已有的生活經驗和知識背景出發，從“畫圓”入手，激活學生頭腦中的潛在經驗，在活動過程中促使學生逐步歸納、形成抽象思維，從而上升到數學層面來認識和探究。在操作活動中，在從具體到抽象的提升過程中，把豐富的體驗和認知轉化為自身的邏輯發展和提升思維品質的力量。

在教學中，我開門見山地說道：“同學們，圓在我們生活中非常常見，你們想不想自己動手畫圓呢？你能用下面的這些工具成功畫出圓嗎？”（如圖2所示）

圖2

給學生的“工具”都是常見的材料：鉛筆、圖釘、橡皮圈、繩子（沒有彈性）、回形針、三角尺和紙片。

課堂中學生最初的反應各異，有的覺得能，有的覺得不能。有學生喃喃道：“把圓形物體的面放在紙上描一圈就行了，可這里似乎都不圓。”

老師笑著附和：“是啊，要是有圓形的物體就好了。瞧，能不能把繩子擺成圓形，描出來？”

學生們頓時炸開了鍋，一個學生邊比畫邊說：“當然不行，繩子是軟的，描著描著就歪了。”老師索性讓學生上來演示，果不其然，畫出來的“圓”歪歪扭扭的。

老師故意為難地說：“提供的這些工具都沒有圓形，看來是畫不了圓了。”

學生們有的陷入沉思，但依然有一部分孩子在堅持著：“可以的！”

老師：“到底可不可以畫圓呢？光說不練可不行！這樣吧，老師已經為你們同桌兩人都準備了這樣一份工具，請你們先自己試試，邊畫邊思考再給出最終的答案。”

…………

拋開簡單的畫圓方法，有意給學生制造“困難”，通過內在任務的強烈需求，學生們積極靠近目標。不久就有學生想到了用固定點、固定長度的方法來試著畫圓，只不過選用的材料不同，老師選擇了一些代表性的資源，引導學生思考幾個比較關鍵的問題。

問題1：如圖3，橡皮筋和繩圈的樣子那么像，為什么一個能畫圓成功，一個卻不能？

圖3

問題2：繩圈、回形針、紙片和三角尺的樣子一點都不像，卻為什么都能畫圓成功？

問題3：如圖4，比較畫圓成功的幾種方法，你發現畫圓成功有什么共同點？

圖4

學生在討論與交流中，很快就發現畫圓成功的幾個關鍵的因素：定點、定長、繞一周，而學生們也在用自己創造出的工具畫的圓中認識了圓心、半徑、直徑等一些基本概念。

（二）問題啟思保增值

圓規是畫圓工具，它的原理和上面的這些方法有什么相同的地方嗎？既然用上面的這些工具就能畫圓，前人為什么還要發明圓規呢？教材中當然沒有這部分設計，但是這對于學生理解圓規的原理卻是至關重要的，也是挖掘這部分教學內容育人價值很重要的一步。

有了上面的活動和體驗，學生很快就能發現：圓規帶針尖的腳可以固定一點，兩腳之間的距離就是固定的長度，帶鉛筆的腳繞一周就可以畫圓——學生們對圓規的原理幾乎是無師自通。

當讓學生們對自制工具和圓規進行比較時，他們的認識超出了老師們的預設。有的學生說，圓規一個手柄兩個腳，兩個手指輕輕握著手柄繞一周，就能很輕松畫出一個圓；不需要像剛剛那樣，一手固定圖釘，一只拿著鉛筆繞圈，要繃直，固定鉛筆的位置還不能隨意改變，有的索性把同桌的四只手都用上了……有的學生說，還不止于此呢，圓規兩腳之間的距離可以改變！可以畫出大大小小的圓，兩腳之間的距離拉大，畫的圓就大，兩腳之間距離縮小，畫的圓就小，借助直尺將兩腳之間距離調整至3cm，就能畫出半徑3cm 的圓。還有的學生已經認識到，繩圈的長度是一定的，回形針的長度是固定的，紙條的長度是有限的，用三角尺的內圈的三個邊畫圓也只能畫出3 種固定大小的圓，原來上面的這些自制工具，雖然能畫圓，但不僅操作不方便，而且畫的圓大小很局限，但圓規卻可以通過調整兩腳之間的距離畫出大大小小甚至是指定大小的圓。

這些正是“圓規”作為正式畫圓工具的優點啊！學生們驚訝更驚喜于自己的發現，他們握著這個神奇的工具在紙上的各個地方畫著大大小小的圓，有的還用畫出的圓組成一幅幅美麗的圖案。他們沒有覺得用圓規畫圓是一項技能，需要掌握很多技巧，而是真正理解后的自然而然和渾然不覺。而后面有關圓心決定圓的位置、同心圓等這些內容也就在學生的創造中慢慢顯現，后面的環節水到渠成。

（三）融匯古今顯智慧

隨著對圓和圓規的認識，老師在課堂最后提出：“約兩千五百年前，我國古代戰國時期的名著《墨經》就已經對圓進行了定義。書中有這樣的記載：圓，一中同長也。還進一步說明：圓，規寫交也。”學生們仔細咀嚼著這些字，感受數學獨特的符號表達方式，感慨古人對概念的精煉精準，一字不多，一字也不少，但又道出了圓的特征和畫圓的本質，感受學會抽象的思考和形成準確、嚴謹的表達能力的魅力。

工具的掌握、概念的形成不僅要有豐富的材料作為認識的感性支撐，也要有深刻的活動作為認識的實踐支撐，學生在解決現實問題和富有挑戰性問題的過程中，了解工具產生的生活原型，理解數學內涵，感受其中的數學思想和方法，實現符號化的工具與學生經驗世界、生活世界的溝通，使得“圓規的教學”更關注學生作為生命體的主動發展的需要。同時更跨越時空，挖掘其內隱的數學發生、發展的歷史人文資源，讓學生在與前人、歷史的對話中，實現符號化的工具與過去、現在和未來的溝通。這些都在讓學生喚起學習的內在需要、興趣、信心的精神力量。

二、量角器的創生性再造，結構關聯中踐行智慧

任何一種認識和工具的產生必然經歷前人的思考和實踐，沿著前人認識的路，就能準確找到認識的起點，從而一路踐行著前人的智慧，在工具的創生過程中充分體現了前人的經驗、體驗、智慧、創造和思想……

雖然四年級的學生已經經歷過長度單位和度量工具直尺、面積單位和度量工具“透明方格紙”的產生和發展的過程，也經歷過一維長度測量與計算到二維平面圖形面積測量與計算的發展過程，但測量角的“量角器”依然有它獨特的育人價值。和直尺、透明方格紙這些工具不同，經過長時間的演變，在市面賣的量角器上已經很難看到1°角的身影，甚至連“經驗中的角”都找不到，圓形的外表，內外圈刻度的設計這些從來未有的經歷，讓量角器的認識難上加難，正因為這些原因，以往我們的教學重心更多放在對量角器的認讀上。對于如何發揮量角器的育人價值，的確沒有過深入的思考，也難以跳開教師自己的認知局限。

本人非常有幸得到新基礎教育專家吳亞萍老師的指導，在她的指導下，我們不光對量角器認識的內容進行了重構，而且還強化了度量單位的產生過程，讓學生從已知度數的角去創造更多未知的角，同時創造出測量角的工具，讓學生經歷有趣有意義的學習之旅，感受由已知推及未知探究的快樂，提升學習和遷移的能力。

（一）知曉上位的策略和路徑

學生在二年級就已經認識了角與直角，并且知道三角尺上有直角，所以本節課便就圍繞著學生已有的經驗基礎展開。

“同學們身邊都有三角尺，并早已熟悉一副三角尺上各有一個直角，光知道一個特殊角還不行，想知道三角尺上其他角的度數嗎？上一節課我們用已經學過的直角拼出了一些特殊的大角：180°和360°。既然用幾個相同的直角可以得到一些較大的角，那么可不可換個角度思考，用幾個相同的小角拼出已知角（這里指已學的90°、180°、360°），從而得到這些小角的度數呢？”這是課堂開始拋出的第一個大問題，為了研究，老師又繼續補充了一些條件，分別給三角尺上的其他角進行了命名（如圖5 所示）。

圖5

在給學生一段時間嘗試后，學生們都很容易得到這樣兩種情況：①∠1+∠2=90°②∠3+∠4=90°（如圖6所示）。

圖6

在二、三年級三角形的分類以及軸對稱圖形的學習中，學生已經知道∠1 和∠2 所在的這個三角尺是等腰直角三角形，所以∠1=∠2，由兩個相同的角拼出90°，所以一個角的度數：∠1=∠2=90°÷2＝45°。

老師在教學過程中引導：由∠1+∠2=90°可以推及∠1 和∠2 的度數，那么∠3+∠4=90°，為什么卻得不出∠3和∠4 的度數呢？通過這個問題讓學生明白，根據現有的本領我們只能通過幾個相同的小角拼出已知角，從而求出未知小角。因為∠3≠∠4，所以不能求出它們的度數。

老師繼續引導：能不能用幾個相同的∠3 拼出已知角呢？同樣，又能不能用幾個相同的∠4拼出已知角呢？從而得出∠3和∠4的度數。

這時候老師的引導和點撥過程，讓學生無論是在方法層面還是操作層面都受到了啟發。學生很快就有了方法，而且呈現的方法也是多樣的：①3個∠3拼成90°的角②3 個∠4 拼成180°的角。由此得出三角尺中另外兩個角的度數∠3=30°，∠4=60°，這樣一來，三角尺上的所有角都成了已知角。

用未知構成已知，用已知推及未知，這是解決問題的一條基本路徑和思維策略。在成與不成的對比分析中讓學生初步形成判斷和選擇的意識，而這些策略和意識都是學生實現自我主動發展的重要品質，實現可持續發展必備的基本素養。

（二）主動關聯形成工具的雛形

通過上面的活動，已經知道一副三角尺所有角的度數，接下來就讓學生用這些已知度數的角來測量一些未知角（∠a=20°、∠b=35°和∠c=110°）。

學生在嘗試中發現光知道一些度數的角只能測量某些角，并不能測量出所有的角，要測量更多的角就需要更多小角，所以在教學中我們為學生提供了很多相同度數的比30°小的小角，用這些未知小角推動研究進一步深入。果然，學生們很快就發現∠a相當于2 個小角，如果知道這些小角的度數，那我們就能順利測量出∠a的度數了。學生們同桌合作，遷移了上面的方法，用3 個小角組成了三角尺上30°的角，6 個小角組成了三角尺上60°的角，很顯然這些小角都是10°。10°小角可以幫助測量更多的角，∠c也可以測量了，但是那么多的小角測量起來真不方便呢，測量∠c的度數要仔細排上11個小角！

學生有把很多1 cm 的度量單位變成直尺的經歷，也有三年級把很多面積單位變成透明方格紙的經歷，所以聰明的他們很快就提出把這些小角全部粘在一起，成了一個圓，而這恰巧就是量角器的初級模型。

（三）自發狀態向自為狀態發展

老師指著量角器的初級模型說：如果用這個圓作為測量角的工具，這樣的測量工具還有沒有需要改進的地方呢？

學生們在熱烈地討論著：

生1：我覺得光有10°角還不行，那這個工具只能測量整10°的角，如果不是整10°的角該怎么測量呢？

生2：以前我們學習尺和一些工具，最小都是1，我們覺得應該把10°角再細分變成1°的角。

生3：我還有建議，把這個測量角的工具改成透明的吧，和我們的直尺和方格紙一樣，這樣測量角時把這個工具放在角的上面就看得更加清楚了。

隨著討論的深入，量角器這個測量工具就被創造出來了。（如圖7所示）

圖7

師：改成最小刻度1°是可以測量更多的角，但大家看刻度線密密麻麻的，看也看不清楚，這把測量角的工具還可以再改善嗎？

當學生面對密密麻麻的刻度時，學生們又有了新的發現。

生4：線那么多，我們可以把一些特殊的線加長，就像直尺上面的整厘米一樣，大家可以拿出尺來看看。（很多學生拿出身邊的尺，覺得這個同學講得太好了）

師：用特別的方法標注特別的度數，還能借助直尺幫助改進，你真是會學習會思考的孩子，真棒！

在評價的帶動下，課堂的討論又熱烈起來。

生5：我有補充，除了將整10°角的刻度線延長，還有將其他的線也稍微延長一些，比其他的線長，但比整10°角的刻度線短，就像直尺上整厘米中間的刻度線一樣。

生6：光有長短還不行，不能每次都一格一格數吧，所以還要標上數。

師：這個想法真好，所有的刻度線上都要標上數嗎？

很多學生已經迫不及待了：不需要，整10°角的刻度線標上數就可以了，否則又會堆積在一起，看也看不清楚。

師：看來要制作出簡單、方便的工具要考慮的問題還真的挺多呢，我們人多力量大。

教學就是適時提供學生類比思考和模仿創造的踐行機會，在明白道理的基礎上進行舉一反三的實踐，積累豐富的認識和體驗。

（四）點撥引導中撥云見日

在大家的討論下，這個工具越來越好了，而這個模型也越來越接近量角器了。但學生就是學生，畢竟經驗還是有限的，需要老師站在更高的視野下去引導和點撥。

師：你們真了不起，我們遠古的人類也是這么想的，不過他們用著這樣量角的工具，不久就發現了問題：一個圓形的工具，攜帶很不方便。我們能不能開動腦筋把這個工具再簡化一下，讓它更完美一些？

在老師的點撥下，學生想到了需要去掉一半，變成半圓形的。

師：去掉一半，的確變得簡單了，但要量比180°大的角還有辦法嗎？

……

師：請你在嘗試測量下面兩個角（開口方向相反）時繼續思考這個測量工具還有沒有可以改進的地方。

學生嘗試后，老師抓住一些典型的問題進行集體交流，特別是在反向角該看哪個刻度時在班級里展開了熱烈的辯論。當學生爭論不下時，老師又將討論的焦點放在優化工具上，引導孩子們自發地提出標注兩圈刻度的需要。

教室里討論聲不斷，顯得有些嘈雜，但這些嘈雜可都是真知灼見呢！在孩子們的你一言我一語中，“量角器”這個集聚了滿滿智慧的工具誕生了。

“為什么需要把一個一個的單位連在一起，為什么需要長長短短的刻度線，為什么大部分尺和方格紙都是透明的，為什么零刻度線都不在最前面？如果說在之前低年級的教學中，還更多地需要老師引導，還有點刻意而為的話，那么在量角器的教學中，這些因素更多變為學生自己的有感而發。在這個過程中學生收獲著、思考著……也因為是自己創造出來的量角器，所以不用老師多言，學生對這個工具的認識已經很深刻。中心點對齊，一邊對準零刻度線，讀另一邊的刻度，內圈、外圈等這些原來是難點的地方竟然都不需要老師再苦口婆心傳授了，學生們心中清清楚楚。

教師就是這樣模擬大社會的情境，讓學生自制度量工具，體驗知識形成過程，并在交流中感受自制工具在使用過程中的局限，通過不斷解決矛盾沖突，引導學生深入思考，逐步探索完善，實現對量角工具的再創造，讓學生形成在復雜的環境下用整體綜合的眼光去發現問題、解決問題所需要的基礎素養，更是學生主動發展的重要基礎和能力。

以這些小小的數學工具作為育人的載體，提供給學生更多實踐和反思的機會，幫助學生建立主動探究和主動學習的心態，以滲透的方式潛移默化地影響學生，使其感受數學的邏輯思維和創造的力量。學生們在一次次地實踐中品嘗著屬于數學的這份獨特的智慧，保持一顆不斷發現乃至創造的需要和可能，形成了科學研究的態度，體驗探索的艱辛和發現的歡樂。