統(tǒng)計學教學中有關方差分析問題的探討

張 俠，楊冰清，王海亭

（阜陽師范大學 信息工程學院，安徽 阜陽 236037）

方差分析是常用的統(tǒng)計方法，已被應用到各學科各領域當中。方差分析是統(tǒng)計學和概率論與數(shù)理統(tǒng)計中非常重要的章節(jié)。在科學研究與生產(chǎn)實踐中，一個事物常常受許多錯綜復雜的因素影響[1]。方差分析主要通過數(shù)據(jù)分析探究對該事物顯著影響的因素及其交互作用，或影響因素的最佳狀態(tài)。變量間關系可以分為函數(shù)關系和相關關系，函數(shù)關系是多對一或一對一的映射，如產(chǎn)品銷售額與銷售量的關系。相關關系是一對多的映射，如子女身高與父母身高間的關系。函數(shù)關系和相關關系可以相互轉化，函數(shù)關系是相關關系的特例。當兩個變量有相關關系，并不代表有因果關系，判斷兩個變量是否具備因果關系的統(tǒng)計方法主要有兩種：參數(shù)統(tǒng)計法，如檢驗和方差分析；非參數(shù)統(tǒng)計法，如Kruskal-Wallis 分析和Friedman 分析[2-3]。實際問題中，往往需要判斷一個變量對另一個變量是否具有因果關系。這就需要方差分析來解決。

本文主要圍繞“提出問題，分析問題和解決問題”的思路展開分析。首先，探討方差分析概念、解釋其基本思想、分析其優(yōu)勢，探尋方差分析和回歸分析的關系；其次，詳細解釋方差分析計算步驟和求解方法。最后，強調掌握統(tǒng)計思想和統(tǒng)計方法的應用，引用兩個案例，詳盡探究方差分析的實踐應用過程。

1 方差分析的基本問題

1.1 概念及基本思想

方差分析在經(jīng)濟學、社會學、醫(yī)學、商業(yè)和農業(yè)等諸多領域的數(shù)量分析中，發(fā)揮著極其重要的作用。方差分析是推斷統(tǒng)計中一種非常重要的統(tǒng)計方法，它表面上是檢驗多個總體的均值是否相等，其本質是檢驗分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響[4-5]。如檢驗行業(yè)對被投訴次數(shù)是否有顯著影響，檢驗顏色對商品銷售量是否有顯著性影響等。依據(jù)分類型自變量的個數(shù)，將方差分析分為單因素方差分析和雙因素方差分析。本文僅探討單因素方差分析。其基本思想：自變量對因變量沒有顯著影響，組間均方等于組內均方；反之，組間均方遠大于組內均方[6]。

1.2 方差分析的優(yōu)勢與不足

方差分析的優(yōu)勢：方差分析是假設檢驗的延續(xù)。相較于t檢驗，在檢驗多個總體均值相等與否時，方差分析不僅能提高檢驗的效率，還將所有樣本信息融合在一起，減少犯α錯誤的概率，排除了錯誤累積的概率，增加了分析的可靠性[7-8]。

當然，方差分析有其不足之處：當檢驗結果拒絕原假設時，表明總體均值不全相等，方差分析不能得出均值大小的結論[9]。

1.3 方差分析與回歸分析的關系

現(xiàn)有文獻對于方差分析和回歸分析二者關系少有深入分析，回歸分析使用到方差分析思想，體現(xiàn)在方差分解上，總方差分解為回歸方差與殘差方差。正如參數(shù)顯著性檢驗是方程顯著性檢驗的特例，方差分析是回歸分析的特例。二者既有區(qū)別又有內在聯(lián)系，詳見表1 所示。

表1 方差分析與回歸分析的關系

2 方差分析的基本方法

2.1 直觀描述

如何判斷自變量對因變量是否有顯著影響？畫出因變量與各因素的箱線圖，使用中位數(shù)線將各因素對應的因變量中位數(shù)聯(lián)系起來。通過箱線圖進行直觀判斷[10-11]。

2.2 方差分解

本文僅考察單因素方差分析，即一個自變量對一個因變量的影響。X表示自變量，Y表示因變量。檢驗X在不同水平的變動對Y是否有顯著影響。單因素方差分析數(shù)據(jù)結構見表2 所示。

表2 單因素方差分析數(shù)據(jù)結構

xi(i=1,2,3,…,k)代表水平，分別來自于k個不同總體，yij表示第i個水平第j個觀測值。從不同總體中抽取樣本分別為n1,n2,…,nk[12]。

方差分析的基本步驟包含提出假設、構造統(tǒng)計量F和依據(jù)決策規(guī)則作出統(tǒng)計決策。下面分別進行詳細具體的分析：

2.2.1 提出假設

假設是對一個問題的看法，分為原假設和備擇假設。方差分析首先提出原假設H0:μ1=μ2=…μk，表示自變量對因變量無顯著影響；備擇假設H1:μ1,μ2,…,μk不全相等，表示自變量對因變量有顯著影響。

2.2.2 構造統(tǒng)計量F

2.2.3 作出統(tǒng)計決策

為檢驗自變量X對因變量Y是否有顯著影響。比較統(tǒng)計量與臨界值Fα(k-1,n-k) 大小即可，若F≥Fα(k-1,n-k)，拒絕原假設，表明總體均值有顯著差異，說明自變量對因變量有顯著影響。若F＜Fα(k-1,n-k)，沒有充分理由拒絕原假設，表明總體均值沒有顯著差異，說明自變量對因變量沒有顯著影響。方差分析的一般形式，詳見表3。

表3 方差分析一般形式

3 方差分析應用案例

前面詳細探討了方差分析的概念、基本思想和求解步驟，為深入理解方差分析在實踐當中的應用，接下來通過兩個實踐案例分別梳理方差分析的詳細求解過程。

案例1：某高校財務管理、國際商務和中韓財管等3 個專業(yè)學生統(tǒng)計學筆試考試分數(shù)（原始數(shù)據(jù)略），試分析專業(yè)對統(tǒng)計學分數(shù)有無顯著影響。

各專業(yè)統(tǒng)計學分數(shù)描述統(tǒng)計分析如表4 所示。

表4 統(tǒng)計學成績描述統(tǒng)計分析

3.1 直觀分析

這是一個探討分類型自變量（專業(yè)）對數(shù)值型因變量（統(tǒng)計學分數(shù)）的影響，方差分析正是解決這一類問題的。首先直觀分析，詳見箱線圖1 所示。

圖1 不同專業(yè)統(tǒng)計學成績的箱線圖

從圖1 可以看出，不同專業(yè)的統(tǒng)計學成績具有顯著差異，即便同一專業(yè)，不同學生統(tǒng)計學分數(shù)也明顯不同。具體來看，財務管理專業(yè)中位數(shù)較高（80），中韓財務管理專業(yè)中位數(shù)較低（64），箱線圖呈現(xiàn)的是專業(yè)與統(tǒng)計學分數(shù)之間有一定關系，否則的話，中位數(shù)應該大致相同。

直觀分析不能充分證明不同專業(yè)的統(tǒng)計學分數(shù)有顯著差異，需要進一步借助精確的方法即方差分析來解釋，下面進行方差分解的贅述。

3.2 方差分解

接下來按照上面三個步驟提出假設、構建統(tǒng)計量、作出統(tǒng)計決策來進行方差分解：

第一，提出假設。

原假設H0:μ1，μ2，μ3，即專業(yè)對統(tǒng)計學分數(shù)無顯著影響；備擇假設H1:μ，μ2，μ3不全相等，即專業(yè)對統(tǒng)計學分數(shù)有顯著影響。

第二，構建統(tǒng)計量。

組間方差、組內方差分別除以各自對應的自由度，即得組間均方

和組內均方

最后，構建統(tǒng)計量

查F分布表F0.05(2,73)=3.1 221。

第三，作出統(tǒng)計決策。

由統(tǒng)計量F=14.7 612，查分布表，臨界值F0.05(2,73)=3.1 221，即F＞F0.05(2,73)，因此拒絕原假設H0，說明均值不全相等，說明專業(yè)對統(tǒng)計學分數(shù)有顯著影響，這和事實吻合，究其原因：統(tǒng)計學學科的學習要以高等數(shù)學為基礎[13-15]。

綜上，方差分析表如表5 所示。

表5 方差分析表

軟件實現(xiàn)：打開方式使用office打開，依次點擊文件、選項、加載項、數(shù)據(jù)分析工具庫、確定。在菜單欄中點擊數(shù)據(jù)分析，選定輸入?yún)^(qū)域和輸出區(qū)域后確定，即出現(xiàn)方差分析列表,如圖2 所示。其優(yōu)勢是實現(xiàn)數(shù)據(jù)個數(shù)多、數(shù)據(jù)復雜、手工計算相對困難的情況使用軟件實現(xiàn)，可以提升計算的效率和準確性。

圖2 EXCEL 方差分析的輸出結果

案例2：凱恩斯消費理論：隨著收入的增加，人們的消費支出會增加。那么，收入與消費之間具體數(shù)量關系是怎樣的？試考察安徽2000-2016 年城鎮(zhèn)居民人均消費y隨城鎮(zhèn)居民人均可支配收入x的變動規(guī)律[16]。

要判斷城鎮(zhèn)居民人均消費y隨城鎮(zhèn)居民人均可支配收入x的變動規(guī)律，回歸分析可以解決，在進行回歸分析之前，首先繪制散點圖，通過散點圖進行直觀判斷，如圖3 所示，直觀判斷二者大致呈現(xiàn)線性關系[17-18]。

圖3 人均消費y 與人均可支配收入x 關系的散點圖

則估計的回歸方程為：

回歸模型未必可靠，需要進一步進行檢驗，其中在回歸分析模型的檢驗中，需要進行方程整體顯著性檢驗，借用了方差分析的思想，因此，國內教材多把方差分析安排在回歸分析之前[19-21]。回歸分析中借用方差分析的思路為，總方差分解為回歸方差（x解釋的部分）與殘差方差（x未解釋的部分），為檢驗x對y是否有線性影響，構造如下檢驗統(tǒng)計量。F=～F(1,n-2)，SSR為回歸方差，1 為自由度，SSE為殘差方差，n-2為自由度。可以用F檢驗的理論來檢驗線性模型是否成立。

計算回歸方差SSR=411 168 034.8 233，殘差方差SSE=2 921 237.5 182，回歸均方

計算統(tǒng)計量

常用置信水平下，F(xiàn)0.05(1,15)=4.5 430 。F＞F0.05(1,15)，拒絕不存在線性關系的原假設，表明人均可支配收入對人均消費存在線性影響，模型通過方程的顯著性檢驗，即模型通過線性關系檢驗，說明回歸模型能合理解釋實際問題。

人均消費y隨城鎮(zhèn)居民人均可支配收入x的變動規(guī)律是：人均可支配收入每增加1 元，人均消費支出平均增加0.6 351 元。這符合凱恩斯消費理論，并且與經(jīng)濟事實相符。

4 結語

本文探討統(tǒng)計學教學中方差分析相關問題，闡釋了方差分析的概念、基本思想和分析方法，并詳細給出其求解步驟，深入解析方差分析與回歸分析的關系，為更好地對方差分析有個深刻的理解，學以致用，真正掌握和應用方差分析解決現(xiàn)實問題。本文通過兩個案例進行一一具體分析，并將方差分析和回歸分析結合起來，為熟練掌握和應用方差分析打下堅實基礎。