提高運算素養 培養關鍵能力*
——以2022年部分省、市數學中考韋達定理試題為例

? 福建省泉州師范學院附屬鵬峰中學 黃志陽

1 問題提出

2019年,中共中央國務院頒布的《關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》指出：穩步推進初中學業水平考試省級統一命題,堅持以課程標準為命題依據,不得制定考試大綱,不斷提高命題水平.2022年3月,《教育部辦公廳關于做好2022年中考命題工作的通知》要求：各地要認真落實依據義務教育課程標準命題的規定要求,不得超標命題和隨意擴大、壓減考試內容范圍,確保依標命題、教考銜接.

《義務教育數學課程標準(2022版)》(以下簡稱《新課標》)中刪除了“一元二次方程根與系數的關系”的星號(*),對韋達定理的要求由“選學”變成了“了解”：知道一元二次方程的根與系數的關系,能通過系數表示方程的根,能用方程的根表示系數[1]145.《新課標》指出,核心素養在初中階段的主要表現為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識這九個方面的關鍵能力.在義務教育階段,數學的思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力.運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力[1]7-8.

數學運算是最核心、最關鍵的教學內容之一,因此培養學生的數學運算能力是最基本、最重要的教學任務之一[2]．本文中通過對2022年全國部分數學中考題的梳理,立足韋達定理對提高學生運算能力的常見題型進行剖析,達成學生數學關鍵能力的培養目標.

2 中考韋達定理的應用試題研究

韋達定理及其運用對提高學生的運算能力有著重要作用,中考中主要以填空題、選擇題或簡單解答題的形式出現,要求學生根據韋達定理和運算律進行運算,難度適中,吻合課標的要求.

2.1 直接應用

例1(2022湖北·黃崗中考)若一元二次方程x2-4x+3=0的兩個根是x1,x2,則x1x2的值是______．

評析：直接考查韋達定理的應用.答案為3.

例2(2022湖南·婁底中考)若實數x1,x2是一元二次方程x2+x-1=0的兩根,則x1x2=______．

評析：直接考查韋達定理的應用.答案為-1.

2.2 結合乘法公式的應用

評析：考查韋達定理的靈活應用.因為x1+x2=-6,x1x2=4,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=20.答案為20.

2.3 隱藏韋達定理結構的應用

有些題目咋一看似乎跟韋過定理無關,細看就可見端倪,隱藏了韋達定理的結構.

例5(2022山東·濱州中考)若m+n=10,mn=5,則m2+n2的值為______.

評析：考查韋達定理的靈活應用.m2+n2=(m+n)2-2mn=90.答案為90.

2.4 含參數方程的應用

2.4.1 已知方程一根,求參數的值

例7(2022四川·樂山中考)關于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有兩根,其中一根為x=1,則這兩根之積為______.

評析：既考查韋達定理的靈活應用,又考查方程根的意義.

A.7 B.-7 C.6 D.-6

評析：既考查韋達定理的靈活應用,又考查方程根的意義.

2.4.2 根據方程兩根的關系式,求參數的值

例9(2022湖北·隨州中考)已知關于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實數根x1,x2.

(1)求k的取值范圍;

(2)若x1x2=5,求k的值.

評析：既考查韋達定理的靈活應用,又考查方程根的意義.

例10(2022湖北·仙桃中考)若關于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有兩個實數根x1,x2,且(x1+2)(x2+2)-2x1x2=17,則m=( ).

A.2或6 B.2或8 C.2 D.6

評析：既考查韋達定理,又考查韋達定理存在的前提是方程存在實根.

3 韋達定理的教學建議

運算能力不能脫離具體的數學知識而孤立存在,也不能離開其他核心素養而獨立發展[3].依托韋達定理抽象的數學結構,能促進學生邏輯推理能力的發展.

3.1 注重學習過程

應該從系統的角度學習知識,置知識于系統之中,著眼于知識的聯系與規律,從而深入本質,因為聯系和規律就是事物本質的體現[4].在教學中,要把重點放在韋達定理的探究過程,指導學生思考韋達定理的證明過程,不能輕過程、重結論.開展數學教學活動,目的在于在教學過程中培養學生的思考能力、學習能力、知情意行的結合能力、結果與過程的兼顧能力.真實經歷體驗過程,讓認識從感性上升到理性,積累活動經驗,這對提高學生的數學抽象、邏輯推理素養有著積極的意義.

3.2 加強變式訓練

數學運算應充分利用學生已有數學經驗;數學運算材料的設計應注重變式;應注重對數學運算規則的理解;應適當揭示數學運算背后的算理;應注重算法多樣化與必要優化.通過對數學運算材料的適當變化,突出與強調其中的不變因素與關鍵特征,促進學生對相應數學運算的深入理解、牢固掌握與靈活運用[2]．數學運算是解決問題的基本手段.因此要求學生能夠明晰運算的對象和意義,理解算法與算理之間的關系;能夠理解所運算的問題,選擇合理簡潔的運算策略;能夠通過運算促進數學推理能力的發展.運算能力的提升有助于形成規范化思考問題的品質,養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度[1].

3.3 關注思想滲透

學習一種數學運算,不僅要學習相應的運算技能,更重要的是要逐步理解與掌握其背后所蘊含的數學知識[2]．從思想上看,韋達定理的學習過程,始終貫穿著整體思想、化歸思想和模型思想.把兩根和與積看成一個整體,計算出一個簡潔的結果,這種整體思想給化簡和計算帶來了簡便;把不同類型的問題,轉化為一元二次方程的兩根和與積的問題;構造兩根和與積的形式,根據模型解決問題,豐富了學生數學運算的手段.數學思想的形成不可能一蹴而就,它是一個動態、螺旋式上升的過程.數學定理揭示了數學規律的不變性,通過對定理的學習,能夠促進學生數學思想的形成與發展.

4 結語

將“一元二次方程根與系數的關系”調整為必學內容,要讓學生知道利用一元二次方程的根與系數關系可以解決一些簡單的問題.用配方法推導求根公式時,要把根與系數關系的來龍去脈講清楚,而不是強調復雜的計算練習[5].

數學思想方法、邏輯知識在對學生的關鍵能力,特別是高水平關鍵能力的形成和發展起著催化和固化作用[6].韋達定理的教學,不宜人為拔高難度,要緊扣通過韋達定理提升學生運算能力這個目標,讓學生通過韋達定理的來源與應用,學會利用基本知識、基本技能進行解題,領悟化歸、轉化思想和模型思想,積累更豐富的基本活動經驗,提升關鍵能力.