“三學課堂”,讓例題教學活起來*
——以切線長定理的解題教學為例

? 江蘇省海安市李堡鎮丁所初級中學 杜兆俊

著名特級教師李庾南在“自學·議論·引導”教學法的基礎上又提出了“學材再建構、學法三結合、學程重生成”的新理念,并著力構建以此為導向的“三學課堂”,其實質是真正以生為本,在充分研判學材、學情、教法、學法、學科關鍵能力、個體與團體協調持續發展等各類因素的基礎上,構建新型生態課堂,既面向全體學生,又適應學生個性發展需要,以期提升學生學力,培養“全面發展的人”[1],實現學科教學改革,為學生終生學習奠定基礎.筆者以切線長定理的解題教學為例,與大家分享和研討.

1 教學案例

圖1

例題(人教版義務教育課程標準實驗教科書數學九年級上冊第100頁例2)如圖1,△ABC的內切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13.求AF,BD,CE的長.

1.1 一題多解,大膽嘗試,提升思維廣度

引導學生分析例題中的已知條件,嘗試用不同的方法解題,逐步培養從不同角度切入并思考問題的習慣,加深對所學知識的理解,訓練對所學方法的運用.學生先個人研究,再進行小組合作探究,最后全班交流討論,匯報解法.主要有以下兩種解法.

方法1：列一元一次方程求解(課本解法).

解法1：設AF=x,則AE=AF=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.

由BD+CD=BC,可得(9-x)+(13-x)=14,解得x=4.因此AF=4,BD=5,CE=9.

方法2：列三元一次方程組求解.

故AF=4,BD=5,CE=9.

1.2 一題多變,回歸課本,提升思維高度

在解題教學中,結合學生的實際情況,關注例題的“生長點”與“延伸點”,對例題進行變式和拓展,同時還要考慮到大部分學生能聽懂,力爭一課一得,使知識活學、活用,使方法熟練、精通,使技巧豐富、自如.

變式1△ABC的邊長AB=9,BC=14,CA=13,求△ABC的面積.

圖2

生1：如圖2,作BC邊上的高AD.由勾股定理,得AB2-BD2=AD2=AC2-CD2,即92-BD2=132-CD2.

變式2如圖1,△ABC的內切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求內切圓⊙O的半徑r.

圖3

生2：如圖3,連接AO,BO,CO,則有

變式3(人教版義務教育課程標準實驗教科書數學九年級上冊第100頁練習2)△ABC的內切圓半徑為r,△ABC的周長為l,求△ABC的面積.(提示：設內心為O,連接OA,OB,OC.)

生3：設AB=c,BC=a,AC=b,則l=a+b+c,連接AO,BO,CO,則由變式2可知

變式4已知△ABC的面積為S,△ABC的周長為l(或三邊長為a,b,c),試用S,l(或三邊長為a,b,c)表示△ABC的內切圓半徑r.

圖4

變式5(人教版義務教育課程標準實驗教科書數學九年級上冊第103頁第14題)如圖4,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.求△ABC的內切圓的半徑r.

1.4.3 T細胞亞群水平 觀察兩組患者術前及術后6、12、24、48 h血漿中CD3+T細胞、CD4+T細胞、CD8+T細胞、CD4+/CD8+水平。采用CytoFLEX型流式細胞儀[貝克曼庫爾特商貿（中國）有限公司]檢測CD3+T細胞、CD4+T細胞、CD8+T細胞、CD4+/CD8+水平（試劑盒由晶美生物工程有限公司提供）。

1.3 一題多悟,生成新法,提升思維深度

數學是一個有機的整體,要用整體的觀點把新學的知識與已學的概念、定理、公式等連成線、結成網,從而溝通不同知識之間的內在聯系,有利于提高學生分析和解決問題的能力.

圖5

生6：如圖5所示,設Rt△ABC的內切圓與三邊相切于點D,E,F,連接OD,OE,OF.因為⊙O為Rt△ABC的內切圓,所以OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,OD=OE=r,AD=AF,BE=BF,CE=CD.所以四邊形ODCE為正方形,則有CE=CD=r.設AD=AF=x,BE=BF=y,則有

①

②

③

①+③-②,得

(x+r)+(y+r)-(x+y)=a+b-c.

三角形的內切圓半徑長度是確定的,兩種方法求出的結果應該相同,但為什么表達形式卻“不一樣”呢?學生一臉茫然,感到很意外：在不同方法下計算的結果,怎么會出現“不一樣”的兩個答案?心理產生了矛盾,思維發生了沖突.此時,教師沒有直接引導大家運用勾股定理來驗證兩種結果是否一樣,而是話鋒一轉：這兩種不同的方法計算出的結果應該相等,若令它們相等會出現什么結果呢?請大家嘗試一下.

頓時,整個教室像炸開鍋似的熱鬧非凡,學生情緒高漲,展開了熱烈討論.

學生們驚呼：勾股定理!我們竟然發現了一種證明勾股定理的方法,真是意外收獲!

圖6

后來,生8在完成作業人教版義務教育課程標準實驗教科書數學九年級下冊第36頁練習2“如圖6,Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高.求證：(1)△ACD∽△ABC;(2)△CBD∽△ABC”后,又發現了一種證明勾股定理的方法：

AC2=AD·AB.

④

BC2=BD·AB.

⑤

④+⑤,得AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=(AD+BD)·AB=AB2.

2 教學反思

2.1 在設置變式練習中“學材再建構”

只有進行科學高效的“學材再建構”,才能確保精彩的生成.數學教材中的例題、習題凝聚了編者的心血,具有典型性、生成性,為中考命題提供了寬廣的空間.在近幾年的中考中,很多試題“源于課本而又高于課本”,這無疑暗示了一種教學導向,那就是教師要深入研究課本,即根據教材和學生實際情況,通過精選、改編教材中的例習題,合理整合教材,進行“學材再建構”,幫助學生系統地掌握知識,讓學生初步經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程.本課在課本例題解法研究的基礎上,對例題進行適當改編,由例題“發枝散葉”出五個變式問題(其中兩個是課本原題),從一般到特殊,形成問題串,層層深入,步步提升.引導學生先探究普通三角形的內切圓半徑公式,再探究直角三角形的內切圓半徑公式,然后由其兩種不同的表達形式的“矛盾”出發,證明了“勾股定理”,構建了數學的“知識樹”.這樣既能使學生深入理解概念、定理,掌握解題技巧,又能抑制“題海”戰術,達到做一題、學一法、會一類、通一片的目的.

2.2 在營造有效互動中“學法三結合”

李庾南老師的“自學·議論·引導”教學法的核心理念是：以學生為主體,在師生合作中學會學習,獲得自主發展[3].本節課通過對一組變式問題的求解,激起學生的認知沖突,引發學生的議論.通過“獨立思考”“小組合作學習”和“全班學習”三種學習方式,每個學生都能進入深度思考,進行觀察、分析、類比、歸納、猜想、推理等活動,說出自己對問題的不同看法,并加以驗證.在這一期間,學生可以用不同的方式——個人學習、小組學習、全班學習,進行討論和爭辯,直至最終達成解決問題的共識.個人學習有利于培養學生獨立思考的習慣,而小組學習、全班學習有利于培養學生合作精神,三者有機結合,可以更好地將學習推向深入,變“要我學”為“我要學”,學生真正成了學習的主體、探究的主體以及自我發展的主體.

2.3 在捕捉思維火花中“學程重生成”

學生是一群充滿活力和個性的生命體,在教學過程中會出現怎樣的情況,教師無法全部估計到.所以教師在教學過程中要做到從學生出發,給學生“生成”的空間,讓學生的思維“暴露”出來,敏銳捕捉在生生互動、師生互動的交流合作中不期而至的生長點,不失時機地利用好生成性資源.尤其是解題教學中,注重方法提煉,從而真正實現“學程重生成”.本課中學生用剛剛“發現”的規律,生成了證明勾股定理的方法,后來還在證明相似三角形的過程中,又發現了一種證明勾股定理的方法,這正是學生可持續學習能力的體現.從上述案例的分析可以看出,具有生成性的教學才是有效的課堂教學.我們的課堂需要教師善于捕捉和及時把握最佳教學時機,處理得當,點撥到位,學生的創新思維才會得到最大限度的激活,教師的巧妙處理就能起到“四兩撥千斤”的絕佳效果.教師的作用不再是去填滿“倉庫”,而是要點燃火炬,捕捉學生思維的火花;學生學習的靈感在積極發言中、相互辯論中突然閃現,最終達到“養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑的學習習慣”[4].