聯系中重構 打造深度課堂*
——以“特殊的平行四邊形”的復習教學為例

? 浙江省杭州市富陽區鹿山中學 鄭曉華? 浙江省杭州市富陽區郁達夫中學 陳建國

1 基本情況分析

新課教學主要達成的是課時目標,即使是采用整體的方式呈現,也只是結構性的扼要陳述的一些數學對象,當它被單獨分析時,會喪失一部分整體的性質.這恰恰體現了復習課的重要地位.復習課顯然不是“可有可無”“舊事重提”的課,而是需要教師站在知識的更高位,對學生所學知識進行研究、比較,尋找相互之間的聯系和區別,在單元整體觀下進行再構造,將原本分散、彼此分割的知識聯成一個統一的整體,使學生能在復習中獲得系統性的體驗.

2 教學過程設計

2.1 知識回溯,喚醒學生的學習起點

課前檢測：

(1)矩形具有而一般的平行四邊形不具有的特征是( ).

A．有一個角是直角 B．對邊相等

C．對角相等 D．對角線互相平分

(2)菱形具有而一般的平行四邊形不具有的特征是( ).

A．對角線相等 B．鄰邊相等

C．對角相等 D．對角線互相平分

(3)菱形的兩條對角線長分別為6 cm和8 cm,它的邊長是( )cm.

A．10 B．8 C．5 D．6

設計意圖：通過前測,喚醒學生對本節課復習的主題內容相關知識點的記憶,便于教師了解學生對特殊的平行四邊形知識的掌握情況.

2.2 動手操作,凸顯學生的學習體驗

已知線段AB的垂直平分線MN,P為MN上一點(在線段AB外),連結AP和BP.

下面是圓圓和芳芳分別在圖中作出四邊形的步驟.

圓圓：第1步,以過點P且平行于AB的直線為對稱軸,將△APB進行翻折,得到△DPC,如圖1.

第2步,連接BC,AD,得到四邊形ABCD.

圖1

圖2

芳芳：如圖2,將△APB以AB為對稱軸翻折,得到△ABP′,得到四邊形AP′BP.

問題1請根據圓圓和芳芳的步驟作出圖形.

追問1：作出的四邊形是哪一類特殊的四邊形?請說明理由.

追問2：能否借助軸對稱性來梳理矩形、菱形特有的性質?

師生活動：學生根據要求分別作圖,并對所作的圖形進行猜想,利用定義和判定進行合理判斷,嘗試用軸對稱性梳理矩形、菱形特有的性質.

設計意圖：幫助學生在動手操作中回顧矩形、菱形的定義和判定,體會矩形、菱形(整體)與等腰三角形(局部)具有一致的軸對稱性.

2.3 感受優勢,激活學生的學習視角

圖3

(1)如圖3,已知矩形ABCD,BE=CE,則下列結論中正確的是______.

①AE=DE;

②∠BAE=∠CDE;

③BA=BE;

④△ABE≌△DCE.

圖4

(2)如圖4,菱形ABCD中,E為對角線BD上與B,D不重合的一點,連結EA,EC,你能得到哪些結論?

問題2你是通過什么方法得到這些結論的?

追問1：能否利用它們的軸對稱性來解決?

追問2：矩形中點A關于對稱軸對稱的點是誰?點E呢?AE呢?∠BAE呢?

追問3：若DE=BE,還能得到什么結論?

追問4：根據上述問題1～2,借助軸對稱性,能得到哪些等量關系?對后續解決其他問題有什么啟示?

生1：通過軸對稱,可得相等的線段、相等的角、全等的三角形.凡是對稱的圖形,都是全等圖形.

生2：后續在解決軸對稱圖形的問題時,可以借助軸對稱性,快速判斷它們的等量關系.

設計意圖：通過問題1～2,幫助學生鞏固特殊平行四邊形的軸對稱性,體會其在解決問題中的優越性,激活學生的思維,從軸對稱的視角與方法來看待問題,為后續解決問題打下基礎.

2.4 驅動轉化,提升學生的學習能力

圖5

例題如圖5所示,菱形ABCD的面積為20,AB=5,AE⊥CD于點E,連接BD,交AE于點F.連接CF,記△AFD的面積為S1,△BFC的面積為S2,則S1∶S2=______.

問題3由已知條件,你能得到哪些結論?

追問1：如何計算兩個三角形的面積比?

追問2：如何求同一直線上的兩條線段的比?

思路1：通過對稱,聚焦相似三角形,解決問題.

部分學生依據菱形的軸對稱性,將△BFC的面積轉化為△BFA的面積,進而得到S1∶S△BFA=DF∶BF.利用△BFA∽△DFE,得到DF∶BF=DE∶AB,從而求出S1∶S2.

思路2：通過對稱,聚焦兩三角形的面積.

部分學生依據菱形的軸對稱性,將△BFC的面積轉化為△BFA的面積,以△BFA和△AFD的公共邊作為底,高分別為AB和DE,從可求出S1∶S2.

思路3：通過對稱,聚焦直角三角形,解決問題.

部分學生利用菱形的軸對稱性,將△AFD的面積轉化為△CFD的面積.由對稱性,得AF=CF,∠DAE=∠DCF.依據題干中的條件,可得AE=4,CE=2,由勾股定理或銳角三角函數,可分別求得EF與AF的值.

思路4：通過對稱,聚焦角平分線,解決問題.

部分學生利用菱形的對角線平分一組對角,得到SDFE∶S△DFA=FE∶AF=DE∶AD,從而求得結論.

設計意圖：通過問題驅動,激發學生的思維,在小組討論的過程中,找到各種思路的共同點.感受軸對稱變換在特殊平行四邊形中的運用,學會將四邊形問題轉化為三角形問題進行解決.同時,回顧解決三角形問題的常用方法,提升學生的推理、運算能力.

問題4如果將例題中的菱形的邊長和面積條件都去掉,添加“∠ADC=α”,保留“AE⊥CD于點E,連接BD,交AE于點F.連接CF,記△AFD的面積為S1,△BFC的面積為S2”,是否還能求S1∶S2?

追問1：α確定時,菱形的形狀確定嗎?剛才的方法是否還適用?

追問2：S1與S2的比值與哪個條件有關?

追問3：如果去掉“AE⊥CD”,設DE∶CE=k,能否求S1∶S2?

設計意圖：將問題從特殊推廣到一般,感受解決問題方法的不變性,引導學生在具體問題中學會抓住問題的本質,在特殊的平行四邊形問題中提升解決三角形問題的能力.

圖6

挑戰：如圖6所示,在正方形ABCD中,點G在BC的延長線上運動,線段AG與對角線BD交于點H,設CG∶BC=k,△ADH和以點C,H,D,G為頂點的四邊形的面積分別為S1和S2,求S2∶S1(用含k的代數式表示).

問題5你打算如何求S2∶S1?

追問1：直接求有困難,能否轉化?

過點H作HE⊥DC于點E,具體轉化過程如圖7所示.

圖7

2.5 引領梳理,拓展學生的學習深度

(1)等腰三角形與矩形、菱形有什么聯系?

(2)借助軸對稱的視角研究特殊的四邊形,從定性分析,可以得到哪些關系?

(3)利用軸對稱性,可以采用什么方法解決特殊的四邊形的問題?

軸對稱視角下“特殊的平行四邊形”復習課的教學內容如圖8所示.

圖8

3 教學思考

所謂深度學習,就是指在教師的引領下,學生圍繞著具有挑戰性的學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[1].筆者通過本節課的教學設計與課堂實踐,對復習課教學有如下思考與理解.

3.1 知識結構化

數學內容蘊含在數學知識的內部,無法一眼看穿,研究過程中,需要著眼于它與相關內容的聯系,在運動變化過程中掌握它.深度學習主張教學內容以內在結構的方式構成學習單元.無論是新課與復習課都主張追尋知識內在的邏輯,通過單元整體的方式展開.這就提醒教師備課時要關注知識的邏輯起點,抓住知識內在的邏輯關系.復習課是對知識進行有序的梳理、聯系、拓展,將原本零落分散、彼此分割的知識組成一個個統一的整體.比如,一個數學問題可以有多種表征,代數形式或幾何形式,新授課上對二者往往有傾向性,而復習課中就可以將二者有機結合.課堂上,設計恰當的活動,讓學生主動、自然地構建知識圖譜,獲得解決綜合性問題的能力.此類復習對學生而言,仍屬于一種具有挑戰性的學習主題,是一種創造性活動.

3.2 方法再認識

數學方法的認識需要借助解題,但并不是“題海戰術”.《禮記·學記》中有云：“道而弗牽,強而弗抑,開而弗抑.”幾何教學中的方法較代數而言,缺乏程序性,很難用具體的步驟來描述,在鍛煉學生思維的同時,也加大了學習難度.學習解決幾何問題的方法,需要學生在過程中不斷思考、頓悟、再創造,這就要求教師依據學生的思維路徑,有序地呈現學生解決問題的過程、想法,在學生思維受阻時,給予及時的追問,幫助學生找到思路受阻原因,而不是直接強行告知結果.

3.3 經驗多遷移

復習課上題不在多,而在于精.選擇典型的例題,引導學生掌握研究問題的一般套路.用運動變化的眼光,對所研究的內容進行“特殊化”“一般化”,或者用“類比”等方式,對問題進行再開發,設置便于學生經歷“再發現”的過程性問題.不僅在變換形式中挖掘問題的本質,同時,在成功與失敗的體驗中“學會學習”.學生能夠將這種潛移默化的思考習慣、解決問題的一般方法遷移到獨立解決新問題中.這樣的經驗還能幫助學生學會自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題.長此以往,數學對學生而言不再是枯燥的解題,而是像科學家一樣在探究問題.

3.4 思想需浸潤

數學思想方法需要“言傳身教”,需要將其蘊藏在一系列具體的教學內容中.學習應該從什么角度來研究,如何研究,如何拓展研究,課堂上讓學生經歷實驗、猜想、聯想、類比、合情推理等分析、解決問題的過程,還原數學家探索、發現事物內在規律的過程.讓學生感受前后知識的學習中,研究路徑和思想方法的一致性.思考如何將一個新問題轉化為已解決的問題.特殊的平行四邊形的復習中,可通過中心對稱視角、軸對稱視角來復習矩形、菱形;通過旋轉對稱視角來復習正方形.始終不變的是將特殊的四邊形問題轉化為三角形問題.由此可見,轉化、化歸等數學思想潛移默化地貫穿課堂始終.

3.5 思維要發展

教之道在于“度”,學之道在于“悟”.教會學生舉一反三地學習數學知識,用相同的“套路”解決不同的問題.學生的思維要發展,教師的問題串設計尤為重要.一是情境創設中的問題串設計要由淺入深、循序漸進、相互關聯,目的是引發學生的興趣,幫助學生快速理清已有的知識結構.二是在思維的難點處設計具有啟發性的問題串,在相互交流中捋清學生的思維路徑,通過問題驅動加以點撥,啟發并提高學生的思維.三是在小結環節設計相應的問題串,通過問題串引導學生再次回顧基礎知識、基本方法、基本活動經驗.給學生充分的思考時間,讓他們帶著問題思考,有邏輯地探究.

筆者通過本節課的教學設計與展示,以期實現教師對中考復習教學的改進、思考,精準、有效地進行復習教學.當然,由于本人水平有限,教學過程中還有很多可待商榷之處,希望以此起到拋磚引玉的功效,期待更多的數學教育有識之士提出教學建議,共享數學課堂的深度教學.