注重聯系,關注生成,聚焦思維
——因式分解(分組分解)教學設計及反思

? 江蘇省無錫市東林中學 盧曉雨

郭元祥教授指出：深度教學要基于知識的內在結構,通過對知識完整深刻的處理,引導學生從符號學習走向學科思想和意義系統的理解和掌握,并導向學科素養.學習的本質是理解學科思想,學會思維,創造新知.因此,設計真正能啟發學生思維,讓學生真正學會學習的數學課堂教學活動顯得尤其重要.本文中以“因式分解(分組分解)”的教學設計為例,談談如何培養學生數學思維能力與學科素養.

1 課題分析

1.1 教學分析

“因式分解”是蘇科版七年級下冊第9章的內容.初中階段,因式分解是代數式的恒等變形、解方程等的重要工具.因式分解內容安排在整式乘法之后,目的是讓學生領會這兩種變形的互逆關系及各自的功能,避免二者混淆.前面幾節課已經學習了提公因式法因式分解,運用平方差公式(兩項)、完全平方公式法(三項)因式分解,本節課主要解決四項多項式的因式分解問題.

1.2 學情分析

小學階段,學生學習了分解質因數;進入初中,學生經歷了由數到字母、由特殊到一般的過程,通過因式分解前面三節課的學習,知道了因式分解與整式乘法之間的聯系,會運用提公因式法、公式法因式分解.四項多項式的分組分解有幾種情況,學生不容易掌握,因此將其確定為本節課的重點和難點.

1.3 教學目標

(1)學會觀察四項多項式的特征,能根據不同題目的特點,選擇較合理的分組方法進行因式分解.

(2)通過整式乘法逆推得出分組分解法因式分解的過程,發展逆向思維能力和推理能力.

(3)體會整式乘法與因式分解的對立統一關系.

2 教學過程

2.1 回憶舊知,引入課題

練習把下列多項式因式分解：

(1)25x2-100;

(2)x2(a-b)-y2(a-b);

(3)2x2y-x3-xy2;

(4)81x4-72x2y2+16y4.

教學說明：通過這四道小題,將學過的兩大方法作一個回顧與總結.因式分解時,通常先看能否提公因式;提完后再看一下還有幾項,對于剩下兩項或三項的分別觀察能否用兩種公式繼續分解;最后檢查分解是否徹底.這為接下來學習四項多項式的因式分解做好必要的知識鋪墊.

2.2 探究新知,四項溯源

類型1：兩項乘兩項.

我們把多項式乘多項式法則再來回顧一遍：

圖1

在計算(a+b)(c+d)時,注意先把(a+b)看成一個整體,即把多項式乘多項式轉化成兩次運用單項式乘多項式法則來處理,最后結果為四項(如圖1).下面請同學們一起總結這一種類型的多項式因式分解的步驟.第一步,兩兩結合,結合的原則是每一組都能提公因式;第二步,分別提出每一組的公因式;第三步,再提公因式,此時公因式是一個兩項的多項式.因式分解的最后結果是兩項乘兩項.

類型2：三項乘三項.

前面學習整式乘法時,教材上有一道例題是計算(x+y+4)(x+y-4),請同學們思考：如何運用乘法公式迅速計算?學生答：把x+y看成一個整體,先運用平方差公式計算,再運用完全平方公式展開.教師追問：為啥結果恰好為四項?由平方差公式計算得到兩大項,其中(x+y)的平方項再用完全平方公式展開,由“一項”變成三項,最后的結果3+1,恰好也是四項.那么滿足這種特征的四項多項式,你會因式分解嗎?請同學們說說你的想法.學生：也是分成兩組,但不像剛才那樣兩兩結合,而是有一個組合里放三項,恰好是一個完全平方展開式,還有一項單獨一組(如圖2).先運用完全平方公式,再用平方差公式因式分解,最后的結果一定是三項乘三項.

圖2

類型3：兩項乘三項.

剛才我們研究了兩項乘兩項、三項乘三項都有可能得到四項式這兩種情況.三項乘三項在不能合并同類項的情況下,結果應該為九項,但在滿足一些特殊構造的情況下,很多項可以合并.那么,是否還有其他情況?大膽猜想一下：兩項乘三項有沒有可能得四項?在不能合并時,兩項乘三項結果應該為六項,從六項減少為四項,少了兩項,我們自然會聯想到哪種情況?學生：運用平方差公式計算時,四項變成兩項,減少了兩項,其中有兩項正好抵消了.

利用平方差公式計算時也有技巧,要盡可能運用公式,簡化運算,而不是去套多項式乘多項式的法則.這里把a+b看成一個整體,第二個括號內的a-b看成一個整體來計算.結合的原則是：能用平方差公式分解的結合在一起,還有兩項結合一般是能提公因式.

2.3 總結特征,科學分組

前面我們研究了三種類型的四項式,如果將一個四項多項式進行因式分解,在不能提公因式的情況下,如何根據題目的特征,迅速找到合理的分組方案呢?對于四項多項式的因式分解,通常是先分成兩大組.有一種分組方式比較特別,它不是均衡地兩兩結合,而是其中的三項結合在一起,其他的情況大多都是兩兩結合.例如多項式a2-b2+ax+bx的特征,請同學們找找看.

學生：能找到兩個平方項的差,可以兩兩結合,分成兩組進行分解(如圖3).

圖3

形如ac+bc+ad+bd的多項式沒有平方項,在因式分解的時候當然也就不可能運用平方差或完全平方公式了,所以這種類型的多項式一定是兩次提公因式進行因式分解,而且一定有兩種結合的方案,原則是能保證各小組可提取公因式.

2.4 例題教學,實踐運用

例把下列多項式因式分解：

(1)4xy-1-2x+2y;

(2)x2-2x-y2+2y;

(3)x2-1-y2+2y;

(4)x3-x2-x+1;

(5)x4+x3+x2-1;

(6)x5+2x4+x3-x.

教學說明：根據剛才探究的規律解決實際問題,引導學生練習時先劃好平方項,觀察數量、符號的異同,迅速判斷屬于哪一種類型.教學時,可以讓學生預判一下最后因式分解的結果是幾項乘幾項.

2.5 總結回顧,完善結構

學完了四項多項式的因式分解,請同學們完善因式分解的知識結構圖.

教學說明：引導學生對因式分解內容進行整體回顧,并與整式乘法進行比較,形成知識體系.

2.6 分層作業,鞏固提升

練習1把下列多項式因式分解：

(1)a2-ab+ac-bc;

(2)2ax-10ay+5by-bx;

(3)2a-a2+6b+9b2;

(4)4x2-y2-4x+1;

(5)1-m2-n2+2mn;

(6)4y2-2y+3x-9x2.

練習2在計算形如(a+b)(a2+ab+b2)的多項式乘多項式時,先用多項式乘法法則展開,結果為六項,其中有些項可以兩兩合并,最后結果也恰好為四項.結合整式乘法的計算過程,思考：

(1)多項式a3+b3+3a2b+3ab2如何因式分解?

(2)多項式a3+b3+na2b+nab2(n≥2且為整數)如何因式分解?

教學說明：練習1是鞏固本節課所學內容,練習2讓學生自己再從整式的乘法開始,探究因式分解的方法,體現了對知識的發生及形成過程的深刻認知.

3 教學思考

3.1 教學設計改灌輸為深度探究

傳統的教學設計是給出三種類型的四項多項式,然后著重講解每一種類型多項式的因式分解方法,以及如何分組、如何提公因式或運用公式,最后再配套習題進行訓練.這樣的設計割裂了新舊知識之間的關聯.我們經常埋怨學生的知識不成體系,孤立碎片化,遇到新問題思路打不開,其實,根本的問題還是在課堂探究上,課堂教學設計沒有從源頭上掌握數學分析問題、解決問題的方法,簡單粗暴的訓練僅僅讓學生掌握了一些淺表層的知識,而且隨著時間的推移還容易遺忘.本節課關注到多項式乘多項式結果為四項的可能情況,緊緊圍繞新舊知識之間的聯系,展開深度探究,既較好完成了教學任務,又再現了人類認知新領域、解決新問題的科學方法,培養了學生的數學學科素養和探究能力.深度課堂需要有深度的課堂教學設計.“深度”不是增加知識的難度和廣度,而是設計要能體現數學知識的前世今生、演化和生成過程.在深度探究過程中認識和體會數學思想、方法的來龍去脈,培養學生的學科素養,提升解決新領域新問題的綜合能力.

3.2 數學方法的背后要揭示本質規律

之前在講四項多項式的因式分解時,因為對本質特征認識不深刻,在教學中,讓學生去嘗試,去試錯,這樣分組不行再換一種結合的方式.其實是對四項式特征、四項式來源認識不夠深刻.為什么分組時,有的是兩兩結合,有的是一三分組?有的是兩次提公因式,有的是運用平方差、完全平方公式?受條件中什么因素控制?原來無論是運用平方差還是完全平方公式至少都得有兩個平方項,搞清楚本質特征、規律,可以高效地進行分組,可以對因式分解的結果進行預判.通過關注四項式的生成過程以及因式分解的過程,得到因式分解的通法,即提公因式、反復提公因式,公因式有時是單項式,有時是多項式,所謂的公式法只不過是走了一個捷徑.比如運用最簡單的平方差、完全平方公式進行因式分解,如果我們沒有學過公式,那就要通過拆項、添項轉化成四項式,兩兩分組,兩次提公因式因式分解.

3.3 作業反饋再現課堂深度探究過程

課后的作業反饋,不僅僅是簡單操練本節課所學的知識點達到熟練的目的,掌握基礎知識是教學的基本表層目的,通過學科知識發展學生學科核心素養和學科關鍵能力才是教學的根本目的.郭元祥教授指出：“知識之后”是對符號知識的超越和追問,是對知識所隱含的思想、意義、思維方式的深層追問.因此,作業設計不僅僅是讓學生掌握本節課必備的技能,更重要的是培養學生解決新問題的思維方式.兩項乘三項結果為四項的另一種情況的因式分解,放在課后讓學生通過整式乘法的計算過程探究因式分解的方法,是對學生思維品質的鍛煉和提升,是技術主義取向基于知識處理對學生核心素養的發展和成長的關注.

總之,深度學習,打造思維課堂,要改變以往的淺嘗輒止、追求短平快的速效課堂帶來的學生囫圇吞棗、食而不化的現象.這需要我們在教學設計上下功夫,在知識的生成上還原演化過程,在新舊知識的關聯處找切入點,在知識運用與遷移中把握本質規律.因此,我們的教學設計要讓深度思維融入課堂教學的各個環節,讓學生的核心素養落地生根,讓探究能力開花結果.