感受有理數中的思想方法

? 廣西百色市田陽區實驗中學 李肖華

數學思想方法是數學學科的精髓,它蘊含在數學知識中,只有領悟了數學思想方法,才能真正體會數學的奧妙,才能觸摸到數學的靈魂.掌握數學思想方法,有助于學生形成數學素養,在學習“有理數”時,主要有下面一些數學思想方法.

1 數形結合思想

借助數形結合思想,能達到形象地理解、認識、處理代數問題的目的.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀,形無數時難入微,數形結合百般好,隔離分家萬事休.”在數學中,數與形是我們主要的研究對象,它們的聯系十分密切,且在一定條件下,數與形能互相轉化,相互滲透.在“有理數”的學習中引入數軸,就是數形結合最簡單的實例,用數軸上的點表示有理數,使學生對相反數、絕對值的意義有更直觀的理解,也給學生比較有理數的大小提供了直觀的方法;同時,用數軸來解釋有理數的加法與乘法,學生也易于接受和理解.

圖1

(2)因為a與-a互為相反數,b與-b互為相反數,c與-c互為相反數,所以在數軸上表示它們的位置如圖2所示.因為數軸上表示的兩個數右邊的數總比左邊的數大,所以c

圖2

例2如圖3,觀察數軸,我們發現：數軸上表示3和2的兩點之間的距離是1;表示-2和1兩點之間的距離是3;一般地,數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于|m-n|．

圖3

(1)如果|x+1|=2,那么x=______;

(2)若數軸上表示數a的點位于-3與5之間,則|a+3|+|a-5|=______．

分析：(1)先把絕對值內部化為差的形式,然后根據|m-n|表示數m和數n的兩點之間的距離,在數軸上找到與表示-1的點距離為2的點;(2)將絕對值內部化為差的形式,在數軸上把數a放在-3與5之間,求兩個距離和.

解：(1)|x+1|=|x-(-1)|=2,它表示數軸上表示數x和-1的點之間的距離是2.如圖4,觀察數軸可以發現表示-3和1的點到表示-1的點之間的距離是2,所以x=-3或1.

圖4

(2)|a+3|+|a-5|=|a-(-3)|+|a-5|,這個式子表示數軸上表示數a和-3兩點之間的距離,與數軸上表示數a和5的兩點之間的距離的和.如圖5,當表示數a的點在-3與5之間時,這兩個距離和為8,所以|a+3|+|a-5|=8.

圖5

點評：與絕對值有關的計算問題,可以利用絕對值的代數意義求解,解答過程比較麻煩,但借助數軸,運用數形結合思想,解答非常簡單,有利于學生理解和掌握,這或許就是數形結合的魅力吧.

2 轉化與化歸思想

轉化與化歸思想,就是將一個復雜的問題轉化為一個簡單的問題,或者將新問題轉化為舊問題,將陌生的問題轉化熟悉的問題,從而實現問題的簡單化處理.在有理數的運算中,處處體現了化歸思想,如將減法轉化為加法,將除法轉化為乘法,將乘方轉化為乘法,在確定運算結果時,先確定符號再確定絕對值,將有理數運算轉化為正數運算.

例3計算下列各式：

分析：(1)按有理數減法法則運算;(2)按有理數除法法則運算;(3)按有理數乘方法則運算.

解：(1)-24-7=-24+(-7)(將減法轉化為加法)=-(24+7)(將有理數運算轉化為正數運算)=-31.

(3)(-2)3=(-2)(-2)(-2)(將乘方轉化為乘法)=-(2×2×2)(將有理數運算轉化為正數運算)=-8.

故原式=300．

在上述解法中,你認為哪種解法是錯誤的．請你選擇正確的解法解答下列問題：

分析：乘法有分配律,但是除法沒有分配律,所以解法一是錯誤的.解法二是先算括里面的,再算括號外面的;解法三是先算原式的倒數,再得原式的值.

解：因為除法沒有分配律,所以解法一錯誤.

點評：解答數學問題的過程是將問題不斷轉化的過程,這種化歸思想將伴隨學生整個數學學習過程,即將學習的代數運算、方程與不等式的求解都涉及轉化與化歸思想的運用,在教學中,要引導學生不斷體會這種數學思想.

3 分類討論思想

分類討論是指當一個問題難以用統一的方法去解決時,將研究對象按一定的標準分解為幾個小問題,然后逐一解決,通過小問題的解決從而實現大問題的解答.實際上,分類討論是先將問題“化整為零”,再將問題“積零為整”.有理數中,絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身,一個負數的絕對值是它的相反數,0的絕對值是0.有理數的乘法法則：兩數相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘,任何數與0相乘仍得0.這些都是分類討論.

例5若|x|=3,|y|=5,且xy<0,求2x+y的值.

分析：根據絕對值的意義,分別求出字母x,y的值,再根據它們的乘積為負,得到它們異號,進而確定x,y的值,代入代數式2x+y求值.

解：因為|x|=3,|±3|=3,所以x=±3.同理|y|=5,|±5|=5,所以y=±5.因為xy<0,所以x,y異號,因此x,y的值有以下兩種情況：①x=3,y=-5,2x+y=2×3+(-5)=1;②x=-3,y=5,2x+y=2×(-3)+5=-1.

分析：根據三個數和為正,積為負,分析這三個數的正負號可能出現的情況,然后逐一討論進行計算.

故答案為0．

點評：此題如果沒有前面的兩個限制條件,最后的結果可能有±4,0三種情況,分類討論的目的是克服思維的片面性,防止漏解,能使要解決的問題由大變小,由籠統變為具體,從而使問題得以解決.

總之,在學習有理數有關知識的過程中,教師應積極引導學生加強對數學思想的學習和領悟,使學生能從較高的高度去認識數學知識,更本質地學數學、做數學、用數學.