例談軸對稱性質的應用

? 貴州省威寧縣第十一中學 王光杰

軸對稱屬于全等變換,對稱軸兩旁的部分是全等的,據此,可以推出關于軸對稱的諸多性質,如“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”“對應線段相等,對應角相等”“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”等.只有明確這些性質,知道其應用于哪一方面,才能在中考中穩操勝券.

1 用“對稱點的連線段被對稱軸垂直平分”求線段長

由于在對稱軸兩側的部分能夠互相重合,因此,當對稱點連線后,兩對稱點到交點的距離相等,對稱點的連線被對稱軸垂直平分.

圖1

例1如圖1,已知點M是∠AOB內任意一點,點M1,M關于OA對稱,點M2,M關于OB對稱,連結M1M2,分別交OA,OB于C,D兩點,連接MC,MD,若M1M2=10 cm,求△MCD的周長.

分析：根據軸對稱圖形的性質,即“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”,可得OA垂直平分MM1,OB垂直平分MM2.依據“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”,可得MC=M1C,MD=M2D.于是△MCD的周長就轉化為線段M1M2的長.理由如下.由點M1,M關于OA對稱,可知OA垂直平分M1M,則MC=M1C.同理,MD=M2D.所以△MCD的周長為MC+CD+MD=M1C+CD+M2D=M1M2=10 cm.

點評：此題的圖形也是下面問題的作圖方法,即在已知角內有一點M,在角的兩邊上求作兩個點,使點M與這兩點構成的三角形周長最小.

圖2

變式練習1如圖2,點P是∠AOB外一點,點M,N分別是∠AOB兩邊上的點,點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上,點P關于OB的對稱點R落在線段MN的延長線上．若PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm,求線段QR的長．

答案：4.5 cm.

2 用“對稱點的連線段被對稱軸垂直平分”求角度

軸對稱的性質有多種應用,不僅能求得圖形中線段的長,而且可以求得角度,還可以用于證明.

圖3

例2如圖3,在△ABC中,直線l交AB于點M,交BC于點N,點B關于直線l的對稱點D在線段BC上,且AD⊥MD,∠B=28°,求∠DAB的度數．

分析：因為點B關于直線l的對稱點是點D,根據對稱點的連線被對稱軸垂直平分,得直線l是線段DB的垂直平分線,所以MD=MB.根據等邊對等角,得∠MDB=∠B=28°.根據三角形外角的性質,得∠AMD=∠MDB+∠B=56°.在Rt△ADM中,根據三角形內角和定理,得∠DAB=90°-56°=34°．

點評：利用“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”這一線段垂直平分線的性質,得到等腰三角形,自然就有等角了.

圖4

變式練習2如圖4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E為外角∠BCD平分線上一動點(不與點C重合),點E關于直線BC的對稱點為F,連接BE,連接AF并延長交直線BE于點G．

(1)求證：AF=BE.

(2)用等式表示線段FG,EG與CE的數量關系,并證明．

答案：(1)略;(2)GE2+GF2=2CE2．

3 用“對應線段相等,對應角相等”求線段長

“對應線段相等,對應角相等”是軸對稱最基本的性質,在折疊問題中這個性質的應用最多.下面就是利用此性質解答的折疊問題.

圖5

例3如圖5所示,AD是△ABC的中線,∠ADC=60°,把△ADC沿直線AD折過來,點C落在點C′的位置.

(1)在圖中找出點C′,連接BC′;

(2)如果BC=4,求BC′的長.

圖6

分析：我們知道,翻折前后的兩個圖形關于折痕成軸對稱圖形,點C與C′是對稱點,所以可以用“作垂線—截相等—描點”的方法作出點C′(如圖6);根據成軸對稱的兩個圖形中“對應線段相等,對應角相等”,可得DC′=DC=BD=2,∠C′DA=∠CDA=60°,從而得到等邊三角形C′BD.

(1)作CO⊥AD并延長CO至點C′,使OC=OC′,點C′即為所求.

(2)連接C′D,則CD=C′D,∠ADC=∠ADC′=60°,所以∠BDC′=60°.由BD=DC=2,可得BD=C′D=2,則∠C′BD=∠BC′D=60°,可知△C′BD為等邊三角形,所以BC′=BD=2.

點評：因為軸對稱圖形中“對應線段相等,對應角相等”,所以圖形折疊后與中線相結合,可得到等腰三角形,而等腰三角形是初中學習的重要圖形,有關它的性質比較多.

例4如圖7-1,△ABC的點C與C′關于AB對稱,點B與B′關于AC對稱,連接BB′,CC′,交于點O．

圖7-1

(1)如圖7-1,若∠BAC=30°,①求∠B′AC′的度數;②觀察并描述：△ABC′可以由△AB′C通過什么變換得來?求出∠BOC′的角度.

(2)如圖7-2,若∠BAC=α,點D,E分別在AB,AC上,且C′D∥BC∥B′E,BE,CD交于點F,設∠BFD=β,試探索α與β之間的數量關系,并說明理由．

分析：(1)①因為點C,C′關于AB對稱,點B,B′關于AC對稱,由“對應線段相等,對應角相等”,得∠CAB=∠BAC′=∠CAB′=30°,所以∠B′AC′=90°．

②圖7-1中,設AC交BB′于點J．△ABC′可以由△AB′C繞點A順時針旋轉60°得到．因為AC=AC′,AB=AB′,∠CAC′=∠BAB′=60°,所以∠AB′O=∠ACO=60°.因為∠AJB′=∠OJC,所以∠B′OC=∠B′AJ=30°．故∠BOC′=30°.

(2)β=2α．理由：由軸對稱的性質,得BC=BC′,DC′=DC,∠ABC′=∠ABC.因為DC′∥BC,由“兩直線平行,內錯角相等”,得∠C′DB=∠ABC=∠C′BD,由等角對等邊,得C′D=C′B,所以BC=BC′=C′D=DC.根據四邊相等的四邊形是菱形,得四邊形BCDC′是菱形,所以CD∥BC′.同理BE∥CB′.所以∠FCB+∠CBC′=180°,即∠FCB+2∠ABC=180°.同理∠FBC+2∠ACB=180°,也即∠BFD=∠FBC+∠FCB,所以∠DFB=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2(∠ABC+∠ACB)=2∠BAC.所以β=2α．

4 用“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”求角度或周長

軸對稱的“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”這一性質不經常用,常用在探究性質的問題中.

圖8

例5如圖8,△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱,△A′B′C′和△A″B″C″關于直線EF對稱,直線MN與EF交于點O,試探究∠BOB″與直線MN,EF所夾銳角α的數量關系.

分析：連接OB′,OB″,OB,根據“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”,可得兩組相等的角,即∠MOB=∠MOB′,∠FOB′=∠FOB″,據此可得∠BOB″=2∠MOB′+2∠FOB′=2(∠MOB′+∠FOB′)=2∠MOF=2α.

點評：此題也反映出軸對稱與旋轉的關系,即當兩條對稱軸相交時,兩次軸對稱相當于一次繞著交點旋轉對稱軸夾角的2倍度數.

圖9

變式練習3如圖9,點P在∠AOB的內部,點C和點P關于OA對稱,點P關于OB對稱的點是D,連接CD交OA于點M,交OB于點N．

(1)①若∠AOB=60°,則∠COD=______°;

②若∠AOB=α,求∠COD的度數．

(2)若CD=4,則△PMN的周長為______．

答案：(1)①120; ②2α． (2)4.

軸對稱是圖形變換之一,屬于全等變換,是中考的必考內容,它常與其他圖形結合起來考查,要求學生會運用運動的觀點看問題.