例析實際問題中的一元一次方程

? 江蘇省沛縣龍固中學 呂慧娟

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出,實際生活中包含著豐富的數學信息,數學在現實生活也有其自己的價值,在處理現實問題時,要能從數學視角使用數學知識和數學方法尋找解決問題的方案.近幾年,各省市中考對學生應用意識的考查逐漸加強,一元一次方程在實際問題中的應用是最簡單的應用類型,要求學生能首先審清題意,從題意中找出已知量與未知量,然后用代數式表示題中涉及的量,找出等量關系,列出方程,最后解一元一次方程求出未知數的值,通過檢驗得到符合題意的解.

1 購書方案中的一元一次方程

在圖書城購書,為了鼓勵人們多買書,圖書城會推出會員卡、貴賓卡.辦會員卡時的費用較少,但買書時得到的優惠也少;辦貴賓卡時的費用較多,但買書時得到的優惠也多.所以是否采用辦卡消費,辦什么卡最合算,必須根據購買圖書的數量來決定.當然也會出現不同消費方式費用一樣的現象,此時可以建立一元一次方程求出購買圖書的數量.

例1為了開闊學生的視野,某校每個班級都準備開辟圖書園地,八(2)班的同學每人都捐一本書,班委會成員準備購買一些新書,其談話內容如下：

班委A 我上次在這邊買了一套很好看的書,可惜有點貴,160元,據我了解這套書進價只有100元.

班委B 你可以花20元辦一張會員卡,買書打八折.

班委C 哦,是的.不過我聽說還有一種優惠方式,花100元辦一張貴賓卡,買書打六折

(1)班委A買的書,圖書城的利潤是多少?利潤率是多少?假如這位班委成員買了會員卡,能省多少錢?

(2)如果購買會員卡與購買貴賓卡得到同樣多的優惠,那么購書的總價(指未打折前的原價)是多少?

(3)在三種購書方式中,如果辦會員卡購書最省錢,求這批書的總價的范圍.

解析：(1)根據題意,可以計算出班委A上次買的一套書,圖書城的利潤和利潤率和他買一張會員卡時可以省下的錢.班委A購買圖書的利潤,就是售價減去進價,即60元,利潤率就是這套書的利潤除以進價,即60%.如果當時他辦一張會員卡,可省下160-(20+160×0.8)=12(元).

(2)根據“辦貴賓卡與辦會員卡購書得到一樣的優惠”,可以列出相應的方程求解.設購書的總價(指未打折前的原價)為x元時,則由辦貴賓卡與辦會員卡購書得到一樣的優惠,可得20+0.8x=100+0.6x,解得x=400.

因此,如果辦會員卡與辦貴賓卡得到同樣多的優惠,那么購書的總價是400元.

(3)根據題意,先算出辦會員卡與不辦卡花錢一樣多時購書的總價,然后再求范圍.設這批書的總價為y元,則20+0.8y=y,解得y=100.由(2)知,當購買400元的書時,兩種辦卡方式所花錢數相等.

因此,當購書總價在100元與400元之間時,辦會員卡購書最省錢.

評注：通過此題可以發現,當購書總價小于100元時,不辦卡最省錢;當購書總價在100～400元之間時,辦會員卡比較化算;當購書總價大于400元時,辦貴賓卡最省錢.而其中界點100元與400元,都必須根據一元一次方程求得.

2 動點運動中的一元一次方程

動點在數軸上運動時,根據運動的速度和時間,可以算出其運動的路程;根據動點出發時的坐標與運動路程,可得運動一定時間后動點的坐標.若兩個點同向而行,則兩動點的路程差等于兩點的距離;若兩個點相向而行,則兩動點的路程和等于兩點間的距離,據此建立一元一次方程可得運動的時間.

例2如圖1,在數軸上點A表示的數為-30,點B表示的數為80.動點C從點A出發以每秒6個單位長度的速度沿正方向運動,動點D從原點出發以每秒4個單位長度的速度沿正方向運動,動點E從點B出發以每秒8個單位長度的速度先沿負方向運動,到達原點后立即按原速返回,三點同時出發.

圖1

(1)三個動點運動7秒時,C,D,E三點在數軸上所表示的數分別為______,______,______.

(2)當點D與點E距離為44個單位長度時,求此時點C在數軸上所表示的數.

(3)若點E回到點B時,三點停止運動,當三個動點運動過程中.

①是否存在某一時刻,點D在點C和點E之間,且與點C和點E的距離相等?若存在,請求出時間;若不存在,請說明理由.

②是否存在某一時刻,這三點中是否還有一點(除點D外)恰好在另外兩點之間,且與兩點的距離相等?若存在,請直接寫出時間;若不存在,請說明理由.

解析：(1)根據動點的運動速度、時間及出發點的坐標可得結果.點C表示的數為-30+6×7=12,點D表示的數為4×7=28,點E表示的數為80-8×7=24.

(2)根據題意列出一元一次方程求解.設運動時間為t秒,則4t+8t=80-44或|4t-80|=44(t>10),解得t=3或t=31.故點C表示的數為6×3-30=-12,或6×31-30=156.

答：點C在數軸上所表示的數是42.

(3)根據動點在數軸上的運動列出一元一次方程即可求得結果.

評注：由數軸上點的坐標,可以求出此點到原點的距離.在原點兩側的點,兩點之間距離等于它們坐標絕對值的和;在原點同側的點,兩點之間的距離等于它們坐標差的絕對值.對于數軸上的點,學會把點的坐標轉化為線段的長,或者由線段的長轉化為點的坐標.

3 日歷表中的一元一次方程

在日歷表里,左右相鄰的兩個數,差距為1,上下相鄰的兩個數,差距為7.如果用正方形框住四個數,那么左上與右下兩個數的差是8,右上與左下的兩個數的差是6.如果用一個十字架去框住五個數,那么已知這五個數的任意一個數可以算出其他四個數,設其中一個數為x,可以用代數式表示出其他四個數,已知這些數字的和,利用一元一次方程,可以求出其中每一個數字.

例3某年十月份的月歷如圖2所示,如果用一個凹字型方框去框月歷中的數字,設被框住的數字分別是a1,a2,a,a3,a4.

圖2

(1)直接寫出a1=______,a3=______(用含a的式子表示);a4-a2=______.

(2)如果將被圈住的五個數字相加,所得數字之和隨著凹字型的的移動有所不同,小明說可能為106,小敏說可能為90,你覺得他們誰說得對?

(3)如果凹字型被圈住的幾個數為b1,b2,b,b3,b4,且b等于a的2倍與1的和,那么符合條件的b的值有多少個?

解析：(1)因為a1=a-8,a2=a-1,a3=a+1,a4=a-6,所以a4-a2=a-6-(a-1)=-5.

故答案為：a-8;a+1;-5.

(2)由(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=106,解得a=24;由(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=90,解得a=20.8(不符合題意,舍去).

故小明的說法對,小敏的說法不對.

(3)a的值可以為9,10,11,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30,因此2a+1的值可以為19,21,23,29,31,33,35,37,43,45,47,49,51,57,59,61.由于b的值可以為9,10,11,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30,且b=2a+1,因此b的值可以為21,23,29.

評注：在凹字型框住的五個數字里,凹頭的兩個數字差為2,凹底的三個數字相鄰兩個數字的差為1,凹字兩邊上下每對數字的差均為7.在觀察日歷表中不同圖形框住的幾個數字之間的規律時,只觀察數字之間的差即可,且任意觀察一種情況即可發現規律.

實際問題中的一元一次方程,還包括工程問題中的一元一次方程.在工程問題中,常需要利用各部分工作量之和等于總工作量建立方程,根據工作量等于工作時間與工作效率之積列代數式.在一元一次方程的應用中,還要注意設未知數的方法,能直接設未知數盡量直接設,對于直接設卻不易列方程的,可以找出關鍵的未知量設元或者設輔助元.在背景復雜的應用題中,要排除無關信息的干擾,善于抓住與數量有關的信息建立代數式或方程,從而求解.