轉化與化歸思想在函數中的應用

■張衛青

應用1:利用轉化與化歸思想解決不等式問題

例1 若實數x,y滿足2020x-2020y<2021-x-2021-y,則( )。

分析:構建函數f(x)=2 020x-2021-x,結合單調性得x

解:因為2020x-2020y<2021-x-2021-y,所以2020x-2021-x<2020y-2021-y。

升華:對于多個變量的不等式求解問題,可以對不等式進行適當的變形,將其轉化為熟悉的函數的單調性問題求解。在解答數學問題時,有時會遇到陌生的問題,感到棘手,這時,可以想辦法把陌生的問題和學過的知識聯系起來,把陌生的問題轉化為熟悉的問題,使所求問題得到有效解決。

應用2:利用轉化與化歸思想解決函數的最值問題

例2 當x> -1 時,關于代數式下列說法正確的是( )。

A.有最小值 B.最值不確定

C.有最大值 D.無最大值

升華:求形如一次函數或二次函數的代數式最值問題,可以對代數式的分母進行適當的變形,將其轉化為熟悉的基本不等式求最值。

應用3:利用轉化與化歸思想解決函數的零點問題

例 3 已 知 函 數f(x) =g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在兩個零點,則a的取值范圍是( )。

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

分析:令g(x)=0,可得f(x)=-xa,則原問題等價于函數y1=f(x)與y2=-x-a的圖像有兩個交點,畫出兩個函數的圖像即可求解。

解:令g(x)=f(x)+x+a=0,則方程f(x)=-x-a有兩個根,即函數y1=f(x)與y2=-x-a的圖像有兩個交點。畫出函數y1=f(x)與y2=-x-a的圖像,如圖1 所示。

由圖可知,當y2=-x-a的縱截距-a≤1,即a≥-1 時,函 數y1=f(x)的圖像與直線y2=-x-a有兩個交點,所以a∈[-1,+∞)。應選C。

升華:研究函數的零點問題時,若發現函數的零點很難求,則可以把它轉化為兩個函數圖像的交點問題。對于函數的零點,大部分問題的解決都離不開轉化與化歸和數形結合思想。

應用4:利用轉化與化歸思想判斷大小

例4 已知55<84,134<85,設a=log53,b=log85,c=log138,則( )。

A.a

C.b

分析:結合中間值即可比較大小。

綜上可得,c>b>a。應選A。

升華:對數的比較大小問題,若無法借助中間值比較大小,則可以將對數轉化為同底的對數,然后比較大小。題中利用這一關系,體現了轉化思想的應用。

應用5:利用轉化與化歸思想解決恒成立問題

例5 已知函數f(x)=x2-4x+a,g(x)=ax+5-a,若對任意的x1∈[-1,3],總 存 在x2∈[-1,3],使 得f(x1)=g(x2)成立,則實數a的取值范圍是( )。

A.(-∞,-9]

B.[- 9,3]

C.[3 ,+∞)

D.(-∞,-9]∪[3 ,+∞)

分析:對任意的x1∈[-1,3],總存在x2∈[-1,3],使得f(x1)=g(x2)成立,可轉化為f(x)在[-1,3]上的值域是g(x)在[-1,3]上值域的子集。這里f(x)和g(x)都是熟悉的函數,只需討論a在不同取值時f(x)和g(x)的取值。

解:對任意的x1∈[-1,3],總存在x2∈[-1,3],使得f(x1)=g(x2)成立,即f(x)在[-1,3]上的值域是g(x)在[-1,3]上值域的子集。

因為f(x)=(x-2)2+a-4 的圖像的開口向上,且對稱軸為x=2,所以在[-1,3]上的值域為[a-4,a+5]。

對于函數g(x)=ax+5-a,當a<0時,g(x)在[-1,3]上的值域為[2a+5,5-2a],此時解得a≤-9;當a=0時,g(x)在[-1,3]上的值域為{5},不滿足要求;當a>0 時,g(x)在[-1,3]上的值 域 為 [5- 2a,2a+ 5], 此 時解得a≥3。

綜上可得,a的取值范圍是(-∞,-9]∪[3,+∞)。應選D。

升華:對于恒成立問題,可以轉化為值域問題,通過研究函數的值域,使問題得到解決。恒成立問題和函數零點問題類似,恒成立問題的解決離不開轉化與化歸和數形結合思想。

提示:只需f(x)min≤g(x)max。易得實數a的取值范圍是[-3,+∞)。