方程與不等式，函數和三角函數常見題型例析

■王 浩

■王 浩

題型1:方程與不等式

方程與不等式是高考的常考點,要掌握方程的一些基本性質,如方程對應函數圖像的開口方向、對稱軸、零點,以及圖像的平移等,要掌握一些重要不等式及其成立的條件和相關定理。

例1 已知函數f(x)=x2-(m+2)x+6(m∈R)。(1)解關于x的不等式f(x)≥6-2m。(2)若對任意的x∈[2,4],f(x)+m+1≥0恒成立,求實數m的取值范圍。

解:(1)由題意知f(x)=x2-(m+2)·x+6≥6-2m,即x2-(m+2)x+2m=(x-2)(x-m)≥0。

當m<2時,解得x≤m或x≥2;當m=2時,解得x∈R;當m>2 時,解得x≤2 或x≥m。

綜上可得,當m<2時,不等式的解集為{x|x≤m或x≥2};當m=2時,不等式的解集為R;當m>2時,不等式的解集為{x|x≤2或x≥m}。

評注:解決方程與不等式問題要掌握一些公式、定理的應用,要學會正面應用相關定理,也要學會逆用定理,還要熟記一些公式的變形應用。

題型2:函數

解答函數問題,要熟練掌握各類函數的圖像和相關性質,要學會應用函數與方程的思想處理問題。

例2 已知定義在R 上的奇函數f(x)滿足f(x)=f(x+2),則以下說法錯誤的是( )。

A.f(0)=0

B.f(x)的一個周期為2

C.f(2023)=1

D.f(3)=f(4)+f(5)

解:由f(x)是R 上的奇函數,可得f(0)=0,A 正確。因為f(x)=f(x+2),所以2是它的一個周期,B 正確。f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),但f(1)的值不確定,C 錯誤。因為f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),所以f(3)=f(4)+f(5),D 正確。應選C。

評注:函數問題是一個比較綜合的問題,要學會利用函數的圖像與性質解決問題。在遇到一些比較麻煩的題目時,要學會運用分類討論的思想處理問題。

題型3:三角函數

三角函數是高考的一個熱門考點,三角函數的圖像與性質是學習的重點,同時要熟練掌握三角恒等變換的幾種常用方法。

例3 已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關于直線對稱。

(1)若f(x)的最小正周期為2π,求f(x)的解析式。

解:(1)因為f(x)的最小正周期為2π,所以。因為ω>0,所以ω=1。

評注:解答三角函數問題,一般遵循“先化簡再求值”的原則,將函數式化成能夠利用題設條件的最簡形式,這樣有利于問題的解決。

已知不等式ax2+bx+1>0 的解集為,則不等式x2-bx+a≥0的解集為( )。

A.{x|x≤-3或x≥-2}

B.{x|-3≤x≤-2}

C.{x|-2≤x≤3}

D.{x|x≤-2或x≥3}