四法破解一道高考絕對值不等式問題

■杜海洋

下面以一道含絕對值的高考試題為例進(jìn)行探究,與大家共同學(xué)習(xí)與交流。

1.考題再現(xiàn)

(2019年高考浙江卷)已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x。若存在t∈R,使得|f(t+,則實數(shù)a的最大值是_____。

2.試題解析

評注:先利用絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號,再利用非負(fù)數(shù)的乘積關(guān)系求出a的取值范圍。解答本題的關(guān)鍵是函數(shù)的有界性的應(yīng)用。

評注:先利用絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號,再利用函數(shù)值域成功進(jìn)行變量分離,最后結(jié)合有界性求得結(jié)果。解法2是一種通性通法,即分離變量法的靈活運用。

評注:解法3 是利用不等式成立的條件進(jìn)行求解的,結(jié)果取兩個不等式的并集,原因是題設(shè)條件為存在實數(shù)t。

評注:解法4與解法1類似,重點突出整體代換法的應(yīng)用。當(dāng)代數(shù)式不易化簡且又復(fù)雜時,利用整體代換法可大大降低思維的難度,提高解題效率。

3.解題感悟

在考題向多樣化發(fā)展的趨勢下,同學(xué)們在掌握基本知識和本質(zhì)解法的基礎(chǔ)上還需適當(dāng)進(jìn)行總結(jié)。題中涉及函數(shù)與不等式的關(guān)系,其中函數(shù)的值域是本題最終的落腳點,去掉絕對值符號是解題的首要突破點,進(jìn)一步的重心是怎樣解不等式。