例說分類討論思想在解題中的應用

■洪高翔

把所研究的問題根據題目的特點和要求,分成若干類,轉化成若干個小問題來解決,這種按不同情況分類,再逐一研究解決問題的數學思想,稱為分類討論思想。下面就分類討論思想在解題中的應用,進行舉例分析,供大家學習與提高。

一、對函數自變量的分類討論

例1 已知函數f(x)對任意x∈R,都有,當x∈[0,2]時,f(x)=-x2+2x,則函數f(x)在[-2,6]上的值域為( )。

C.[-2,0] D.[-2,4]

綜上可得,函數f(x)在[-2,6]上的值域為[-2,4]。應選D。

評注:解決分段函數的策略就是“分段函數,分段解決”。

二、對指數函數、對數函數的底數分類討論

例2 設a>0,且a≠1,函數y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,則實數a的值為____。

解:令t=ax(a>0,且a≠1),則原函數可化為f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2(t>0)。

評注:指數函數y=ax與對數函數y=logax的底數a滿足的條件是a>0且a≠1。

三、對二次函數的對稱軸分類討論

例3 若函數f(x)=x2-2x-2ax+2,x∈[1,2],則f(x)的最小值為_____。

解:函數f(x)=x2-2x-2ax+2的對稱軸方程為x=a+1。

當a+1≤1,即a≤0 時,f(1)=1-2a為最小值;當12,即a>1時,f(2)=2-4a為最小值。

綜上可得,函數f(x)的最小值為

評注:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸方程為(即頂點的橫坐標)。本題需要考慮在區間[1,2]上,或在區間[1,2]外的情況。

四、對函數的值域分類討論

例 4 已 知 函 數f(x) =若函數g(x)=f[f(x)]-a有三個不同的零點,則實數a的取值范圍是_____。

解:設t=f(x),令f[f(x)]-a=0,則a=f(t)。在同一坐標系內,作出y=a,y=f(t)的圖像(如圖1)。

圖1

由圖可知,當a≥-1 時,y=a與y=f(t)的圖像有兩個交點,設交點的橫坐標為t1,t2(不妨設t2>t1),則t1<-1,t2≥-1。

當t1<-1時,t1=f(x),即t1=f(t)有一解;當t2≥-1時,t2=f(x),即t2=f(t)有兩解。

綜上可得,當a≥-1,即a∈[-1,+∞)時,函數g(x)=f[f(x)]-a有三個不同的零點。

評注:題中t=f(x)的意義是函數f(x)的值域。在復合函數中,內層函數的值域是外層函數的定義域。

五、對參數的分類討論

例5 (1)已知角α的終邊過點P(-3a,4a)(a≠0),則2sinα+cosα的值為_____。

評注:(1)中的參數a是實數,a的取值范圍決定角α的終邊所在的象限;(2)中的參數k是整數,需要分奇數與偶數討論。