相似三角形與函數綜合問題探究

王勇

［摘 要］在近幾年的各地中考數學試題中，相似三角形與函數綜合考查成為中考命題的熱點。文章結合四個典型例題，探討相似三角形與函數綜合問題，旨在夯實學生基礎，發展學生思維，培養學生核心素養。

［關鍵詞］相似三角形；函數；綜合問題

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0010-03

在近幾年的各地中考數學試題中，相似三角形與函數綜合考查成為命題的熱點，它包括相似三角形與一次函數綜合、相似三角形與反比例函數綜合、相似三角形與二次函數綜合、相似三角形與絕對值函數綜合。下面筆者結合例題逐一分析探討。

一、相似三角形與一次函數綜合

一次函數的圖象是一條直線，它與兩坐標軸相交形成直角三角形，以原點為直角頂點再放置一個相似的直角三角形，會形成“手拉手”相似三角形模型，利用相似三角形的性質可以求線段的長度，確定線段的最小值等。

解析：（1）利用兩角對應相等的兩個三角形相似，得[△BDC ]∽[△EDO]，從而得證。∵[OC⊥OE]，∴[∠COE=90°]，∴[∠AOB=∠COE=90°]，∵[∠OCD=∠OAB]，∴[∠ABO=∠CEO]，∵[∠BDC=∠EDO]，

（3）根據[OA=OF]可知，F在以O為圓心，以OA為半徑的半圓上運動，在[△OBF]中，由三角形的三邊關系，得[BF>OF-OB]，所以當F在y軸上，且在B的上方時，BF的值最小，由此得到BF的最小值。如圖5所示，由對稱得：[OA=OF]，動點F在以O為圓心、以OA為半徑的半圓[AFA']上運動，因為[OB=6]，在[△OBF]中，由三角形的三邊關系得[BF>OF-OB]，所以當F在y軸上，且在B的上方時，BF的值最小，如圖6所示，此時[BF=OF-OB=8-6=2]，即BF的最小值是2。

二、相似三角形與反比例函數綜合

相似三角形與反比例函數綜合問題主要考查相似三角形存在性問題、三角形面積等，要求學生掌握相似三角形的判定、反比例函數的性質等，且要具備分類討論、數形結合等數學思想方法。

三、相似三角形與二次函數綜合

［例3］如圖9所示，在平面直角坐標系中，二次函數[y=mx2+nx+4]（[m≠0]）的圖象交[x]軸于A、B兩點，交y軸于點C，點A的坐標為[（-3，0）]，點B的坐標為（1，0），以OA、OC為邊作矩形OADC，且邊CD交二次函數的圖象于點M。（1）求二次函數的表達式；（2）現有一條垂直于x軸的直線[x=a]在[A]、[O]兩點間（不包括A、O兩點）左右移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點P，交二次函數的圖象于點Q，請用含a的代數式表示QP的長；（3）在（2）的條件下，連接QC，則在CD上方的二次函數的圖象上是否存在這樣的點Q，使得以Q、C、F為頂點的三角形和[△AEP]相似？若存在，直接寫出a的值；若不存在，請說明理由。

四、相似三角形與絕對值函數綜合

絕對值函數的本質還是分段函數，它的函數圖象一般為軸對稱圖形，在絕對值函數里也會討論相似三角形的存在性問題。